设 f(x) = arctan(e^x)，则 f'(x) = ( )。A. (e^x)/(1 + e^2x)B. (1)/(1 + e^2x)C. (1)/(sqrt(1 + e^2x))D. (e^x)/(sqrt(1 + e^2x))

本题考查复合函数求导的知识点。解题思路是先明确函数$f(x)=\arctan(e^x)$是由$y = \arctan u$和$u = e^x$复合而成的，然后根据复合函数求导法则$f^\prime(x)=y^\prime(u)\cdot u^\prime(x)$进行求导。

步骤一：分别求$y^\prime(u)$和$u^\prime(x)$

• 对于$y = \arctan u$，根据求导公式$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$，可得$y^\prime(u)=\frac{1}{1 + u^2}$。
• 对于$u = e^x$，根据求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，可得$u^\prime(x)=e^x$。

步骤二：根据复合函数求导法则求$f^\prime(x)$

将$y^\prime(u)=\frac{1}{1 + u^2}$和$u^\prime(x)=e^x$代入复合函数求导法则$f^\prime(x)=y^\prime(u)\cdot u^\prime(x)$中，得到$f^\prime(x)=\frac{1}{1 + u^2}\cdot e^x$。

步骤三：将$u = e^x$代回$f^\prime(x)$的表达式

把$u = e^x$代入$f^\prime(x)=\frac{1}{1 + u^2}\cdot e^x$，可得$f^\prime(x)=\frac{e^x}{1 + (e^x)^2}=\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$。