X_1, X_2, X_3, ..., X_n 是来自总体 X 的一个样本, 且 X sim P(lambda), 则 PX=0 的最大似然估计量为 ().A. overline(X)B. e^-overline(X)C. -overline(X)D. e^overline(X)

步骤 1：理解问题背景
题目中提到 $X_1, X_2, X_3, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，且 $X \sim P(\lambda)$，即 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。我们需要找到 $P\{X=0\}$ 的最大似然估计量。

步骤 2：写出似然函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数。因此，对于样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，似然函数为：
$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!} = \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n} X_i} e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^{n} X_i!}$$

步骤 3：求解最大似然估计量
为了简化计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$\ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} X_i \ln \lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^{n} \ln X_i!$$
对 $\lambda$ 求导并令导数等于零，得到：
$$\frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\lambda} - n = 0$$
解得 $\lambda = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} = \overline{X}$，即 $\lambda$ 的最大似然估计量为样本均值 $\overline{X}$。

步骤 4：计算 $P\{X=0\}$ 的最大似然估计量
根据泊松分布的概率质量函数，$P\{X=0\} = e^{-\lambda}$。将 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\overline{X}$ 代入，得到 $P\{X=0\}$ 的最大似然估计量为 $e^{-\overline{X}}$。