题目
已知一批产品(批量很大) 的次品率p 0.1,现从这批产品中随机地抽取 1000件进行检查,求次品数在 90至110之间的概率。
已知一批产品(批量很大) 的次品率p 0.1,现从这批产品中随机地抽取 1000件进行
检查,求次品数在 90至110之间的概率。
题目解答
答案
解:次品数 X ~ B(1000,0.1 ), E(X) 1000 0.1 100, D(X) 1000 0.1 0.9 90
X-100
由中心极限定理 Xt0近似服从N(0,1) ,90
P{90 X 110} P{90-100 X-100 ,90 .90
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
次品数 \(X\) 服从二项分布 \(B(1000, 0.1)\)。其中，\(n=1000\)，\(p=0.1\)。
步骤 2：计算期望和方差
期望 \(E(X) = np = 1000 \times 0.1 = 100\)。
方差 \(D(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.1 \times 0.9 = 90\)。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 \(n\) 很大，根据中心极限定理，\(X\) 近似服从正态分布 \(N(100, 90)\)。因此，标准化后的随机变量 \(\frac{X-100}{\sqrt{90}}\) 近似服从标准正态分布 \(N(0,1)\)。
步骤 4：计算概率
求次品数在 90 至 110 之间的概率，即求 \(P(90 \leq X \leq 110)\)。
标准化后，\(P(90 \leq X \leq 110) = P\left(\frac{90-100}{\sqrt{90}} \leq \frac{X-100}{\sqrt{90}} \leq \frac{110-100}{\sqrt{90}}\right)\)。
计算标准化后的值：\(\frac{90-100}{\sqrt{90}} = -1.05\)，\(\frac{110-100}{\sqrt{90}} = 1.05\)。
因此，\(P(90 \leq X \leq 110) = P(-1.05 \leq Z \leq 1.05)\)。
查标准正态分布表，得到 \(P(Z \leq 1.05) = 0.8531\)，\(P(Z \leq -1.05) = 0.1469\)。
所以，\(P(-1.05 \leq Z \leq 1.05) = 0.8531 - 0.1469 = 0.7062\)。
次品数 \(X\) 服从二项分布 \(B(1000, 0.1)\)。其中，\(n=1000\)，\(p=0.1\)。
步骤 2：计算期望和方差
期望 \(E(X) = np = 1000 \times 0.1 = 100\)。
方差 \(D(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.1 \times 0.9 = 90\)。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 \(n\) 很大，根据中心极限定理，\(X\) 近似服从正态分布 \(N(100, 90)\)。因此，标准化后的随机变量 \(\frac{X-100}{\sqrt{90}}\) 近似服从标准正态分布 \(N(0,1)\)。
步骤 4：计算概率
求次品数在 90 至 110 之间的概率，即求 \(P(90 \leq X \leq 110)\)。
标准化后，\(P(90 \leq X \leq 110) = P\left(\frac{90-100}{\sqrt{90}} \leq \frac{X-100}{\sqrt{90}} \leq \frac{110-100}{\sqrt{90}}\right)\)。
计算标准化后的值：\(\frac{90-100}{\sqrt{90}} = -1.05\)，\(\frac{110-100}{\sqrt{90}} = 1.05\)。
因此，\(P(90 \leq X \leq 110) = P(-1.05 \leq Z \leq 1.05)\)。
查标准正态分布表，得到 \(P(Z \leq 1.05) = 0.8531\)，\(P(Z \leq -1.05) = 0.1469\)。
所以，\(P(-1.05 \leq Z \leq 1.05) = 0.8531 - 0.1469 = 0.7062\)。