8.1 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。

步骤 1：定义假设
设该次考试的学生成绩为X，则$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$。根据题意，需要检验的假设是：
原假设${H}_{0}:\mu =70$，即全体考生的平均成绩为70分；
备择假设${H}_{1}:\mu \neq 70$，即全体考生的平均成绩不为70分。

步骤 2：选择检验统计量
由于总体方差未知，样本容量n=36，采用t检验法。检验统计量为：
$t=\dfrac {\overline {x}-\mu _{0}}{s/\sqrt {n}}$
其中，$\overline {x}$是样本均值，$\mu _{0}$是假设的总体均值，s是样本标准差，n是样本容量。

步骤 3：计算检验统计量的值
根据题目给出的数据，$\overline {x}=66.5$，$\mu _{0}=70$，s=15，n=36。代入公式计算得：
$t=\dfrac {66.5-70}{15/\sqrt {36}}=\dfrac {-3.5}{15/6}=\dfrac {-3.5}{2.5}=-1.4$

步骤 4：确定临界值
在显著性水平$\alpha =0.05$下，自由度为$n-1=35$的t分布的临界值为${t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(n-1)={t}_{0.025}(35)=2.0301$。

步骤 5：判断是否拒绝原假设
比较计算得到的检验统计量值t与临界值${t}_{0.025}(35)$。由于$|t|=1.4<2.0301$，统计量t未落入拒绝域中，因此不拒绝原假设${H}_{0}$。