题目
五、设总体 sim N(50,36) ,sim N(46,16) ,从总体X中抽取容量为9的样本,从总体-|||-Y中抽取容量为16的样本,求下列概率.-|||-(1) 0lt overline {x)-overline (y)lt 8} -|||-;(2) dfrac {{{S)_(1)}^2}({{S)_(2)}^2}lt 5.94} -
题目解答
答案
见答案
(1) $P\{ 0\lt \overline {x}-\overline {y}\lt 8\} $ $P\{ \dfrac {{{S}_{1}}^{2}}{{{S}_{2}}^{2}}\lt 5.94\} $ -;(2)
(1) $P\{ 0\lt \overline {x}-\overline {y}\lt 8\} $ $P\{ \dfrac {{{S}_{1}}^{2}}{{{S}_{2}}^{2}}\lt 5.94\} $ -;(2)
解析
考查要点：本题主要考查正态总体样本均值之差的分布和样本方差比值的F分布的应用。
解题思路：
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第（1）题：
- 关键点：两个独立正态总体的样本均值之差服从正态分布，需计算其均值和方差，再通过标准化转化为标准正态分布求概率。
- 核心步骤：确定$\overline{x}-\overline{y}$的分布，标准化后查标准正态分布表。
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第（2）题：
- 关键点：样本方差的比值服从F分布，需构造F统计量并确定自由度。
- 核心步骤：将$\dfrac{S_1^2}{S_2^2}$转化为F分布形式，查F分布表求概率。
第（1）题
确定$\overline{x}-\overline{y}$的分布
- $\overline{x} \sim N\left(50, \dfrac{36}{9}\right) = N(50, 4)$，即$\mu_{\overline{x}} = 50$，$\sigma_{\overline{x}} = 2$。
- $\overline{y} \sim N\left(46, \dfrac{16}{16}\right) = N(46, 1)$，即$\mu_{\overline{y}} = 46$，$\sigma_{\overline{y}} = 1$。
- $\overline{x}-\overline{y} \sim N\left(50-46, 4+1\right) = N(4, 5)$，即均值为$4$，标准差为$\sqrt{5}$。
标准化并计算概率
- 标准化：$Z = \dfrac{(\overline{x}-\overline{y}) - 4}{\sqrt{5}}$。
- 计算边界值：
- 当$\overline{x}-\overline{y} = 0$时，$Z = \dfrac{0-4}{\sqrt{5}} \approx -1.788$。
- 当$\overline{x}-\overline{y} = 8$时，$Z = \dfrac{8-4}{\sqrt{5}} \approx 1.788$。
- 查标准正态分布表：
- $P(Z < 1.788) \approx 0.9625$，$P(Z < -1.788) \approx 0.0375$。
- 最终概率：$0.9625 - 0.0375 = 0.925$。
第（2）题
构造F分布
- $\dfrac{S_1^2}{S_2^2} \sim \dfrac{\chi^2(8)/36}{\chi^2(15)/16} \cdot \dfrac{16}{36} \sim F(8, 15)$。
- 题目条件转化为：$\dfrac{S_1^2}{S_2^2} < 5.94$，即$\dfrac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \dfrac{16}{36} < 5.94 \cdot \dfrac{16}{36} \approx 2.64$。
- 查F分布表（自由度8,15）：$F_{0.95}(8,15) \approx 2.64$，故概率为$0.95$。