题目
4.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品.设某批产品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?
4.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品.设某批产品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?
题目解答
答案
设抽取产品数为 $ n $，次品数 $ X $ 服从二项分布 $ B(n, 0.1) $。需满足 $ P(X > 10) \geq 0.9 $，即 $ P(X \leq 10) \leq 0.1 $。
利用正态近似，$ X $ 近似服从 $ N(0.1n, 0.09n) $。
标准化得：
\[ P\left( \frac{X - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \leq \frac{10 - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \right) \leq 0.1 \]
查表得 $ \Phi(-1.2816) \approx 0.1 $，故
\[ \frac{10 - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \approx -1.2816 \]
解得 $ n \approx 146.543 $，取整数 $ n = 147 $。
**答案：** $\boxed{147}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设抽取产品数为 $ n $，次品数 $ X $ 服从二项分布 $ B(n, 0.1) $。因为次品率为10%，所以每次抽取产品时，次品的概率为0.1，非次品的概率为0.9。
步骤 2：确定概率条件
题目要求次品多于10个时拒绝接受这批产品，即 $ P(X > 10) \geq 0.9 $。等价于 $ P(X \leq 10) \leq 0.1 $。
步骤 3：使用正态近似
当 $ n $ 足够大时，二项分布 $ B(n, 0.1) $ 可以用正态分布 $ N(0.1n, 0.09n) $ 近似。其中，$ 0.1n $ 是期望值，$ 0.09n $ 是方差。
步骤 4：标准化并求解
标准化得：\[ P\left( \frac{X - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \leq \frac{10 - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \right) \leq 0.1 \] 查标准正态分布表得 $ \Phi(-1.2816) \approx 0.1 $，故 \[ \frac{10 - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \approx -1.2816 \] 解得 $ n \approx 146.543 $，取整数 $ n = 147 $。
设抽取产品数为 $ n $，次品数 $ X $ 服从二项分布 $ B(n, 0.1) $。因为次品率为10%，所以每次抽取产品时，次品的概率为0.1，非次品的概率为0.9。
步骤 2：确定概率条件
题目要求次品多于10个时拒绝接受这批产品，即 $ P(X > 10) \geq 0.9 $。等价于 $ P(X \leq 10) \leq 0.1 $。
步骤 3：使用正态近似
当 $ n $ 足够大时，二项分布 $ B(n, 0.1) $ 可以用正态分布 $ N(0.1n, 0.09n) $ 近似。其中，$ 0.1n $ 是期望值，$ 0.09n $ 是方差。
步骤 4：标准化并求解
标准化得：\[ P\left( \frac{X - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \leq \frac{10 - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \right) \leq 0.1 \] 查标准正态分布表得 $ \Phi(-1.2816) \approx 0.1 $，故 \[ \frac{10 - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \approx -1.2816 \] 解得 $ n \approx 146.543 $，取整数 $ n = 147 $。