题目

(13)int(xarctan x)/(sqrt(x^2)+1)dx;

(13)$\int\frac{xarctan x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx;$

题目解答

答案

设 $u = \arctan x$，则 $du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx$。令 $dv = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx$，则 $v = \sqrt{x^2 + 1}$。分部积分得： \[ \int \frac{x \arctan x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \arctan x \cdot \sqrt{x^2 + 1} - \int \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{1 + x^2} \, dx. \] 令 $x = \tan \theta$，则 $\sqrt{x^2 + 1} = \sec \theta$，积分变为： \[ \int \sec \theta \, d\theta = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C = \ln |\sqrt{x^2 + 1} + x| + C. \] 故原积分结果为： \[ \boxed{\arctan x \cdot \sqrt{x^2 + 1} - \ln |\sqrt{x^2 + 1} + x| + C}. \]

解析

考查要点：本题主要考查分部积分法和三角替换法的综合应用，涉及反三角函数与根式函数的积分处理。

解题核心思路：

  1. 分部积分法：选择合适的$u$和$dv$，将原积分转化为更简单的积分形式。
  2. 三角替换法：对剩余积分中的根式$\sqrt{x^2+1}$进行三角替换，简化积分表达式。
  3. 换元积分：通过$x = \tan \theta$将积分转化为基本三角函数的积分形式。

破题关键点：

  • 分部积分的选择：设$u = \arctan x$，$dv = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$，简化主积分。
  • 剩余积分的处理：通过三角替换$x = \tan \theta$，将根式转化为三角函数表达式，利用$\int \sec \theta \, d\theta$的标准结果。

分部积分法应用

  1. 设$u$和$dv$：

    • $u = \arctan x \implies du = \frac{1}{1+x^2} dx$
    • $dv = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx \implies v = \sqrt{x^2+1}$（通过直接积分求得）

  2. 分部积分公式：
    $\int \frac{x \arctan x}{\sqrt{x^2+1}} dx = \arctan x \cdot \sqrt{x^2+1} - \int \frac{\sqrt{x^2+1}}{1+x^2} dx$

剩余积分的三角替换

  1. 令$x = \tan \theta$：

    • $\sqrt{x^2+1} = \sec \theta$
    • $dx = \sec^2 \theta d\theta$
    • 积分变为：
      $\int \frac{\sec \theta}{1+\tan^2 \theta} \cdot \sec^2 \theta d\theta = \int \sec \theta d\theta$

  2. 计算三角积分：
    $\int \sec \theta d\theta = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C = \ln |\sqrt{x^2+1} + x| + C$

合并结果

将剩余积分代入分部积分结果，最终得到：
$\boxed{\arctan x \cdot \sqrt{x^2+1} - \ln |\sqrt{x^2+1} + x| + C}$