某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立。(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p_0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p_0作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。(rm i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX。(rm ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

步骤 1：求$$f(p)$$
$$20$$件产品中恰有$$2$$件不合格品的概率$$f(p)$$为：
$$f(p)={\rm C}_{20}^2p^2(1-p)^{18}$$
步骤 2：求$$f(p)$$的最大值点$$p_0$$
对$$f(p)$$求导，得到$$f'(p)$$：
$$f'(p)={\rm C}_{20}^2[2p(1-p)^{18}-18p^2(1-p)^{17}]$$
$$={\rm C}_{20}^2(1-p)^{17}2p(1-10p)$$
令$$f'(p)=0$$，解得$$p=\frac{1}{10}$$
当$$p=\frac{1}{10}$$时，$$f'(p)$$在$$(0,\frac{1}{10})$$上时$$f'(p)>0$$，在$$(\frac{1}{10},1)$$上时$$f'(p)<0$$
所以当$$p=\frac{1}{10}$$时，$$f(p)$$取最大值，即$$p_0=0.1$$
步骤 3：求$$EX$$
令$$Y$$表示余下的$$180$$件产品中的不合格品件数，依题意知：
$$Y\sim B(180,0.1)$$，$$X=20\times 2+25Y$$
即$$X=40+25Y$$
所以$$E(X)=E(40+25Y)$$
$$=40+25E(Y)$$
$$=40+25\times 180\times 0.1$$
$$=490$$
步骤 4：判断是否应该对这箱余下的所有产品作检验
如果对余下的产品作检验，则这一箱中所需要的检验费用为$$400$$元
由于$$E(X)>400$$，所以需要对剩下的所有产品进行验证