题目
已知一批零件的长度(单位：cm)X服从N(μ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到其长度的平均值为40cm，试求N(μ,1)的置信水平为0.95的双侧置信区间.(注：N(μ,1)，N(μ,1))
已知一批零件的长度(单位：cm)X服从
，从中随机地抽取16个零件，得到其长度的平均值为40cm，试求
的置信水平为0.95的双侧置信区间.
(注：
，
)
题目解答
答案
已知，则的置信水平为0.95的双侧置信区间为
，其中
，则
，
，则的置信水平为0.95的双侧置信区间为
.
解析
步骤 1：确定已知条件
已知零件长度X服从正态分布N(μ,1)，即均值为μ，方差为1。从这批零件中随机抽取16个，得到的平均长度为40cm。置信水平为0.95，即α=0.05。
步骤 2：确定置信区间的计算公式
由于已知方差σ^2=1，因此使用正态分布的置信区间公式。置信水平为0.95的双侧置信区间为：
$$(\overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}})$$
其中，$\overline{x}$是样本均值，σ是总体标准差，n是样本容量，$z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的临界值。
步骤 3：代入已知数值计算
根据题目，$\overline{x}=40$，σ=1，n=16，α=0.05，因此$\frac{\alpha}{2}=0.025$。查表得到$z_{0.025}=1.96$。
$$\overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}} = 40 - \frac{1}{\sqrt{16}} \times 1.96 = 40 - \frac{1}{4} \times 1.96 = 40 - 0.49 = 39.51$$
$$\overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}} = 40 + \frac{1}{\sqrt{16}} \times 1.96 = 40 + \frac{1}{4} \times 1.96 = 40 + 0.49 = 40.49$$
已知零件长度X服从正态分布N(μ,1)，即均值为μ，方差为1。从这批零件中随机抽取16个，得到的平均长度为40cm。置信水平为0.95，即α=0.05。
步骤 2：确定置信区间的计算公式
由于已知方差σ^2=1，因此使用正态分布的置信区间公式。置信水平为0.95的双侧置信区间为：
$$(\overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}})$$
其中，$\overline{x}$是样本均值，σ是总体标准差，n是样本容量，$z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的临界值。
步骤 3：代入已知数值计算
根据题目，$\overline{x}=40$，σ=1，n=16，α=0.05，因此$\frac{\alpha}{2}=0.025$。查表得到$z_{0.025}=1.96$。
$$\overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}} = 40 - \frac{1}{\sqrt{16}} \times 1.96 = 40 - \frac{1}{4} \times 1.96 = 40 - 0.49 = 39.51$$
$$\overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}} = 40 + \frac{1}{\sqrt{16}} \times 1.96 = 40 + \frac{1}{4} \times 1.96 = 40 + 0.49 = 40.49$$