题目
设非负函数 y=y(x)(x≥0) 满足微分方程 xy^primeprime-y^prime+2=0，当曲线 y=y(x) 过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积.
设非负函数 y=y(x)(x≥0) 满足微分方程 $xy^{\prime\prime}-y^{\prime}+2=0$，当曲线 y=y(x) 过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积.
题目解答
答案
解微分方程 $xy'' - y' + 2 = 0$，得通解 $y = C_1 x^2 + 2x + C_2$。
由 $y(0) = 0$，得 $C_2 = 0$，故 $y = C_1 x^2 + 2x$。
由面积条件 $\int_0^1 y(x)dx = 2$，解得 $C_1 = 6$，从而 $y = 3x^2 + 2x$。
将 $x$ 表示为 $y$ 的函数：$x = \frac{-1 + \sqrt{1 + 3y}}{3}$。
计算旋转体体积：
\[
V = \pi \int_0^5 x^2 dy = \frac{\pi}{9} \int_0^5 (2 + 3y - 2\sqrt{1 + 3y}) dy = \frac{17\pi}{6}.
\]
或者使用圆柱壳法：
\[
V = 2\pi \int_0^1 x y dx = 2\pi \int_0^1 x(3x^2 + 2x) dx = \frac{17\pi}{6}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{17\pi}{6}}$