6.lim_(xto0)(e^tan x-e^x)/(x(1-cos x))

利用泰勒展开近似：

• $e^u \approx 1 + u$（$u \to 0$），
• $\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$，
• $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$。

将 $u = \tan x - x$ 代入，得
$e^{\tan x} - e^x \approx e^x(e^{\tan x - x} - 1) \approx e^x(\tan x - x) \approx e^x \cdot \frac{x^3}{3}.$

分母近似为
$x(1 - \cos x) \approx x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}.$

原极限化简为
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x \cdot \frac{x^3}{3}}{\frac{x^3}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x \cdot 2}{3} = \frac{2}{3}.$

答案： $\boxed{\frac{2}{3}}$