题目
46、填空 设随机变量X~N(1,3²),Y~N(0,4²),X与Y的相关系数为ρ=-0.5，设Z=(1)/(3)X+(1)/(2)Y，则E(3Z)=____。
46、填空 设随机变量X~N(1,3²),Y~N(0,4²),X与Y的相关系数为ρ=-0.5，设$Z=\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y$，则E(3Z)=____。
题目解答
答案
为了求解 $ E(3Z) $，我们首先需要确定 $ E(Z) $。已知 $ Z = \frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y $，我们可以利用期望的线性性质来求 $ E(Z) $。期望的线性性质表明，对于任意随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 以及常数 $ a $ 和 $ b $，有 $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $。
已知 $ X \sim N(1, 3^2) $ 和 $ Y \sim N(0, 4^2) $，我们有 $ E(X) = 1 $ 和 $ E(Y) = 0 $。因此，我们可以计算 $ E(Z) $ 如下：
\[
E(Z) = E\left(\frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y\right) = \frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y) = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{3}
\]
现在，我们需要求 $ E(3Z) $。再次利用期望的线性性质，我们有：
\[
E(3Z) = 3E(Z) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1
\]
因此，$ E(3Z) $ 的值是 $\boxed{1}$。
解析
本题主要考察期望的线性性质以及正态分布的期望计算。具体步骤如下：
步骤1：明确随机变量的期望
题目给出：
- $X \sim N(1, 3^2)$，正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 中，期望 $E(X) = \mu$，故 $E(X) = 1$；
- $Y \sim N(0, 4^2)$，同理 $E(Y) = 0$。
步骤2：计算 $E(Z)$
已知 $Z = \frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y$，根据期望的线性性质：
$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$
代入得：
$E(Z) = \frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{1}{3}$
步骤3：计算 $E(3Z)$
再次利用期望的线性性质：
$E(3Z) = 3E(Z) = 3 \times \frac{1}{3} = 1$