题目

8.(填空题)参数方程(星形线参数方程){}x=acos^3ty=asin^3t.(a>0)所表示得曲线在t=(pi)/(4)处的法线斜率为____第一空

8.(填空题)参数方程(星形线参数方程)$\left\{\begin{matrix}x=a\cos^{3}t\\y=a\sin^{3}t\end{matrix}\right.(a>0)$所表示得曲线在$t=\frac{\pi}{4}$处的法线斜率为____ 第一空

题目解答

答案

由参数方程 $ \left{
\begin{array}{l}x = a \cos^3 t \\y = a \sin^3 t\end{array}
\right. $，首先求导数 $ \frac{dy}{dx} $。
根据链式法则，有
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t.$
当 $ t = \frac{\pi}{4} $ 时，$ \frac{dy}{dx} = -\tan \frac{\pi}{4} = -1 $。
法线斜率 $ k $ 满足 $ k \cdot \frac{dy}{dx} = -1 $，即 $ k \cdot (-1) = -1 $，解得 $ k = 1 $。

答案： $ 1 $

解析

考查要点：本题主要考查参数方程求导及法线斜率的计算方法。
解题思路：

  1. 参数方程求导：利用链式法则，分别对$x$和$y$关于参数$t$求导，再通过$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$得到切线斜率。
  2. 法线斜率关系：法线斜率是切线斜率的负倒数，即$k \cdot \frac{dy}{dx} = -1$。
    关键点：正确计算导数并代入特定参数值，注意符号处理。

  1. 求导数$\frac{dy}{dx}$

    • 对$x = a \cos^3 t$求导：
      $\frac{dx}{dt} = a \cdot 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t$
    • 对$y = a \sin^3 t$求导：
      $\frac{dy}{dt} = a \cdot 3 \sin^2 t \cdot \cos t = 3a \sin^2 t \cos t$
    • 联立得：
      $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$

  2. 代入$t = \frac{\pi}{4}$

    • $\tan \frac{\pi}{4} = 1$，故$\frac{dy}{dx} = -1$。

  3. 求法线斜率

    • 设法线斜率为$k$，根据垂直关系：
      $k \cdot \left(-1\right) = -1 \implies k = 1$