用两种不同分析方法对矿石中铁的质量分数进行分析,得到两组数据如下: s n 方法1 15.34% 0.10% 11 , 方法2 15.43% 0.12% 11 a.置信度为90%时,两组数据的标准偏差是否存在显著性差异? b.在置信度分别为90%,95%及99%时,两组分析结果的平均值是否存在显著性差异?

考查要点：
本题主要考查统计假设检验中的F检验（比较方差差异）和t检验（比较均值差异）。需要根据题目要求选择合适的检验方法，并结合临界值判断差异是否显著。

解题核心思路：

1. 问题a：比较两组数据的标准差是否存在显著差异，需使用F检验，通过计算F值并与F临界值比较得出结论。
2. 问题b：比较两组平均值是否存在显著差异，需使用t检验。由于问题a已判断方差无显著差异，可采用合并方差的t检验，计算t值后与不同置信度下的临界t值比较。

破题关键点：

• F检验需正确计算方差比，并注意自由度（n-1）。
• t检验需正确计算合并方差和t值，注意自由度为两样本容量之和减2。

第（a）题：标准偏差的显著性差异

计算方差

方法1方差：
$S_1^2 = \frac{0.10\%}{11} = 0.00102$
方法2方差：
$S_2^2 = \frac{0.12\%}{11} = 0.00122$

计算F值

$F = \frac{S_2^2}{S_1^2} = \frac{0.00122}{0.00102} \approx 1.44$

比较临界值

查F表（90%置信度，自由度10,10），临界值$F_{0.10,10,10} = 2.97$。
因$F = 1.44 < F_{\text{表}} = 2.97$，故标准偏差无显著性差异。

第（b）题：平均值的显著性差异

计算合并方差

$s^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{10 \times 0.00102 + 10 \times 0.00122}{20} = 0.00112$
$s = \sqrt{0.00112} \approx 0.0332 = 3.32\%$

计算t值

$t = \frac{|\bar{x}_2 - \bar{x}_1|}{s} \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1 + n_2}} = \frac{|15.43 - 15.34|}{3.32} \sqrt{\frac{11 \times 11}{22}} \approx 0.063$

比较临界值

• 90%置信度：$t_{0.10,20} = 1.72 > 0.063$
• 95%置信度：$t_{0.05,20} = 2.09 > 0.063$
• 99%置信度：$t_{0.01,20} = 2.84 > 0.063$
  均满足$t < t_{\text{临界}}$，故平均值无显著性差异。