已知氢原子的归一化基态波函数为-|||-(varphi )_(1s)=((pi {{a)_(0)}^3)}^-dfrac (1{2)}etimes p[ -dfrac (r)({a)_(0)}] -|||-(1)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量;-|||-(2)利用位力定理(即维里定理)求该基态的平均势能和零点能。

考查要点：

1. 量子力学基本假设的应用，特别是哈密顿算符作用于本征函数得到能量本征值的能力。
2. 角动量算符的物理意义，以及基态波函数角度部分为常数时的角动量特性。
3. 维里定理在氢原子中的应用，理解势能与动能的关系，以及零点能的定义。

解题核心思路：

1. 能量计算：利用氢原子哈密顿算符作用于基态波函数，通过求解本征方程直接得到能量。
2. 角动量计算：基态波函数角度部分为常数，角动量平方算符作用后结果为零，故角动量为零。
3. 维里定理：通过势能与动能的关系，结合总能量表达式，直接求出平均势能和零点能。

(1) 求基态能量和角动量

能量计算

氢原子哈密顿算符为：
$\hat{H} = -\frac{h^2}{8\pi^2m}\nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$
基态波函数 $\varphi_{1s} = (\pi a_0^3)^{-1/2} e^{-r/a_0}$ 仅含径向部分，角度部分为常数。将 $\hat{H}$ 作用于 $\varphi_{1s}$，计算径向部分的拉普拉斯算符：
$\nabla^2 \varphi_{1s} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \varphi_{1s}}{\partial r} \right)$
代入 $\varphi_{1s}$ 并化简，最终得到：
$E_1 = -\frac{h^2}{8\pi^2m a_0^2} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a_0} = -\frac{13.6 \, \text{eV}}$

角动量计算

基态波函数 $\varphi_{1s}$ 的角度部分为常数，对应角动量量子数 $l=0$。角动量平方算符 $\hat{L}^2$ 作用后结果为零，故角动量 $\vec{L}=0$。

(2) 利用维里定理求平均势能和零点能

维里定理应用

维里定理指出：
$\langle T \rangle = -\langle V \rangle, \quad E = \langle T \rangle + \langle V \rangle$
代入总能量 $E_1 = -13.6 \, \text{eV}$，得：
$\langle V \rangle = -2E_1 = 27.2 \, \text{eV}, \quad \langle T \rangle = -\langle V \rangle = -13.6 \, \text{eV}$
零点能为动能部分 $\langle T \rangle = -13.6 \, \text{eV}$（实际为绝对值，需注意符号定义）。