题目
5、设某总体X的密度函数为-|||-(x,alpha )= dfrac (2)({a)^2}(a-x)0lt xlt a-|||-0 其它-|||-对容量为n的子样x1,x1····,xn,参数α的矩估计量为 __ 容量为1的子样x,参数a的极大似-|||-然估计量为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
根据密度函数 $f(x,\alpha )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {2}{{\alpha }^{2}}(\alpha -x)\quad 0\lt x\lt \alpha \\ 0\end{matrix} \right.$，计算总体X的期望值E(X)。
$E(X) = \int_{0}^{\alpha} x \cdot f(x,\alpha) dx = \int_{0}^{\alpha} x \cdot \dfrac{2}{\alpha^2}(\alpha - x) dx$
$= \dfrac{2}{\alpha^2} \int_{0}^{\alpha} (\alpha x - x^2) dx$
$= \dfrac{2}{\alpha^2} \left[ \dfrac{\alpha x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \right]_{0}^{\alpha}$
$= \dfrac{2}{\alpha^2} \left( \dfrac{\alpha^3}{2} - \dfrac{\alpha^3}{3} \right)$
$= \dfrac{2}{\alpha^2} \cdot \dfrac{\alpha^3}{6}$
$= \dfrac{\alpha}{3}$
步骤 2：矩估计量
根据矩估计法，总体X的期望值E(X)等于样本均值$\overline{X}$，即$\dfrac{\alpha}{3} = \overline{X}$，从而得到参数$\alpha$的矩估计量$\hat{\alpha} = 3\overline{X}$。
步骤 3：极大似然估计量
对于容量为1的子样X，极大似然估计量是使似然函数$L(\alpha) = f(x,\alpha)$最大的$\alpha$值。由于$f(x,\alpha)$在$0 < x < \alpha$时为正，且在$x = \alpha$时为0，因此极大似然估计量$\hat{\alpha}$应满足$\hat{\alpha} \geq x$。由于$x$是样本值，所以$\hat{\alpha} = x$。
根据密度函数 $f(x,\alpha )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {2}{{\alpha }^{2}}(\alpha -x)\quad 0\lt x\lt \alpha \\ 0\end{matrix} \right.$，计算总体X的期望值E(X)。
$E(X) = \int_{0}^{\alpha} x \cdot f(x,\alpha) dx = \int_{0}^{\alpha} x \cdot \dfrac{2}{\alpha^2}(\alpha - x) dx$
$= \dfrac{2}{\alpha^2} \int_{0}^{\alpha} (\alpha x - x^2) dx$
$= \dfrac{2}{\alpha^2} \left[ \dfrac{\alpha x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \right]_{0}^{\alpha}$
$= \dfrac{2}{\alpha^2} \left( \dfrac{\alpha^3}{2} - \dfrac{\alpha^3}{3} \right)$
$= \dfrac{2}{\alpha^2} \cdot \dfrac{\alpha^3}{6}$
$= \dfrac{\alpha}{3}$
步骤 2：矩估计量
根据矩估计法，总体X的期望值E(X)等于样本均值$\overline{X}$，即$\dfrac{\alpha}{3} = \overline{X}$，从而得到参数$\alpha$的矩估计量$\hat{\alpha} = 3\overline{X}$。
步骤 3：极大似然估计量
对于容量为1的子样X，极大似然估计量是使似然函数$L(\alpha) = f(x,\alpha)$最大的$\alpha$值。由于$f(x,\alpha)$在$0 < x < \alpha$时为正，且在$x = \alpha$时为0，因此极大似然估计量$\hat{\alpha}$应满足$\hat{\alpha} \geq x$。由于$x$是样本值，所以$\hat{\alpha} = x$。