49 判断 (2分) 设总体X的密度函数为f(x)=}x^theta(theta+1),&0-1，(X_(1),X_(2),...,X_(n))是取自总体X的样本，则theta的极大似然估计量是hat(theta)=-1-(n)/(sum_(i=1)^nln X_{i)}. （）A. ×B. √

本题考查极大似然估计量的求解。解题思路是先根据总体的密度函数写出似然函数，再对似然函数取对数得到对数似然函数，然后对对数似然函数求导并令导数为零，解出参数的估计值，最后判断该估计值是否满足参数的取值范围。

1. 写出似然函数：
   已知总体$X$的密度函数为$f(x)=\begin{cases}x^{\theta}(\theta + 1),&0\lt x\lt 1\\0,&\text{其它}\end{cases}$，$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是取自总体$X$的样本。
   因为样本中的每个$X_i$相互独立且与总体$X$同分布，所以似然函数$L(\theta)$为各个样本点概率密度函数的乘积，即：
   $L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}f(X_i)$
   由于$0\lt X_i\lt 1$时，$f(X_i)=X_i^{\theta}(\theta + 1)$，所以$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}X_i^{\theta}(\theta + 1)=(\theta + 1)^n\prod_{i = 1}^{n}X_i^{\theta}$。
2. 取对数得到对数似然函数：
   对似然函数$L(\theta)$取自然对数，可得对数似然函数$\ell(\theta)$：
   $\ell(\theta)=\ln L(\theta)=\ln\left[(\theta + 1)^n\prod_{i = 1}^{n}X_i^{\theta}\right]$
   根据对数运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$和$\ln a^b = b\ln a$，可得：
   $\ell(\theta)=n\ln(\theta + 1) + \theta\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i$
3. 求导并令导数为零：
   对对数似然函数$\ell(\theta)$关于$\theta$求导：
   $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}\left[n\ln(\theta + 1) + \theta\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i\right]$
   根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$和$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得：
   $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=\frac{n}{\theta + 1} + \sum_{i = 1}^{n}\ln X_i$
   令$\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=0$，即$\frac{n}{\theta + 1} + \sum_{i = 1}^{n}\ln X_i = 0$。
4. 求解$\theta$：
   由$\frac{n}{\theta + 1} + \sum_{i = 1}^{n}\ln X_i = 0$，移项可得：
   $\frac{n}{\theta + 1}=-\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i$
   两边同时取倒数得：
   $\theta + 1=-\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i}$
   移项解得：
   $\theta=-1 - \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i}$
5. 判断$\theta$的取值范围：
   因为$0\lt X_i\lt 1$，根据对数函数的性质，$\ln x$在$(0,1)$上小于$0$，所以$\ln X_i\lt 0$，那么$\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i\lt 0$。
   则$-\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i}\gt 0$，所以$\theta=-1 - \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i}\gt -1$，满足参数$\theta\gt -1$的条件。