2.计算题2.某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，问该批食品能否出厂？(a=0.05)

考查要点：本题主要考查假设检验的应用，特别是比例的单侧检验。需要根据样本数据判断总体不合格率是否超过规定阈值。

解题核心思路：

1. 建立假设：明确原假设（$H_0$）和备择假设（$H_1$），本题需检验不合格率是否超过5%。
2. 计算检验统计量：利用样本比例计算Z值，需注意使用原假设中的比例计算标准误。
3. 确定临界值：根据显著性水平$\alpha=0.05$和单侧检验类型，查标准正态分布表。
4. 比较并结论：通过Z值与临界值的对比，判断是否拒绝原假设。

破题关键点：

• 正确设定假设方向：题目要求“超过5%不得出厂”，因此备择假设为$H_1: \pi > 0.05$。
• 标准误的计算：需用原假设中的比例$p_0=0.05$，而非样本比例$\hat{p}=0.12$。

1. 建立假设

• 原假设：$H_0: \pi \leq 0.05$（不合格率不超过5%，符合标准）
• 备择假设：$H_1: \pi > 0.05$（不合格率超过5%，不符合标准）

2. 计算检验统计量

• 样本比例：$\hat{p} = \frac{6}{50} = 0.12$
• 标准误：$\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{50}} \approx 0.0308$
• Z值计算：
  $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} = \frac{0.12 - 0.05}{0.0308} \approx 2.27$

3. 确定临界值

• 右侧检验，$\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得临界值$Z_{0.05} = 1.645$。

4. 比较并结论

• Z值对比：$2.27 > 1.645$，拒绝原假设。
• 结论：不合格率超过5%，该批食品不能出厂。