题目
4 三大计算-极限-第一天练习题 第4题 10分 极限的计算 函数求极限(90-1)设a为非零常数，则lim_(xtoinfty)((x+a)/(x-a))^x=请上传解答过程 (1.点击加号或拖拽图片到下方区域上传；2.手机扫码上传)不会，看答案
4 三大计算-极限-第一天练习题 第4题 10分 极限的计算 函数求极限
(90-1)设a为非零常数，则$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^{x}=$
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题目解答
答案
将原式重写为：
\[
\left( \frac{x+a}{x-a} \right)^x = \left( 1 + \frac{2a}{x-a} \right)^x
\]
利用重要极限 $\lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^y = e$，令 $y = \frac{x-a}{2a}$，则：
\[
\left( 1 + \frac{2a}{x-a} \right)^x = \left[ \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^y \right]^{\frac{2ax}{x-a}}
\]
当 $x \to \infty$ 时，$y \to \infty$，故：
\[
\lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^y \right]^{\frac{2ax}{x-a}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{2ax}{x-a}}
\]
计算指数极限：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2ax}{x-a} = 2a
\]
因此，原极限为：
\[
\boxed{e^{2a}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查利用重要极限求解函数极限的能力，需要将给定表达式转化为标准形式，并正确处理指数部分。
解题核心思路：
- 变形表达式：将分式$\frac{x+a}{x-a}$改写为$1+\frac{2a}{x-a}$，使其接近重要极限$\lim_{y \to \infty} \left(1+\frac{1}{y}\right)^y = e$的形式。
- 变量替换：通过引入新变量$y = \frac{x-a}{2a}$，将原式与重要极限关联。
- 计算指数极限：分离底数和指数，分别求解底数的极限和指数部分的极限，最终结合得到结果。
破题关键点：
- 识别重要极限结构，通过变形使分式符合标准形式。
- 正确处理指数关系，将原式指数$x$与新变量$y$建立联系。
将原式变形为：
$\left( \frac{x+a}{x-a} \right)^x = \left( 1 + \frac{2a}{x-a} \right)^x$
步骤1：引入变量替换
令$y = \frac{x-a}{2a}$，则当$x \to \infty$时，$y \to \infty$，且有：
$\frac{2a}{x-a} = \frac{1}{y}, \quad x = 2a y + a$
步骤2：改写原式
将原式表示为重要极限形式：
$\left( 1 + \frac{2a}{x-a} \right)^x = \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{2a y + a}$
步骤3：拆分指数
拆分指数为两部分：
$\left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{2a y} \cdot \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^a$
步骤4：求极限
- 当$y \to \infty$时，$\left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{2a y} \to e^{2a}$（应用重要极限）。
- $\left( 1 + \frac{1}{y} \right)^a \to 1$（因$a$为常数）。
最终结果：
$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+a}{x-a} \right)^x = e^{2a}$