题目
5.证明:-|||-(({A)^*)}^*=(|A|)^n-2A,-|||-其中A是 times n 矩阵 (ngt 2) -
题目解答
答案
解析
步骤 1：考虑 $|A|\neq 0$ 的情况
当 $|A|\neq 0$ 时，矩阵 $A$ 是可逆的，即存在 $A^{-1}$ 使得 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$，其中 $E$ 是单位矩阵。根据伴随矩阵的定义，有 $AA^{*}=A^{*}A=|A|E$。因此，$A^{*}=|A|A^{-1}$。
步骤 2：计算 $({A}^{*})^{*}$
根据伴随矩阵的性质，$({A}^{*})^{*}=||A|A^{-1}|(A^{-1})^{-1}$。由于 $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$，所以 $||A|A^{-1}|=|A|^{n-1}$。因此，$({A}^{*})^{*}=|A|^{n-1}A$。
步骤 3：考虑 $|A|=0$ 的情况
当 $|A|=0$ 时，矩阵 $A$ 不可逆，秩 $(A)\leqslant 1$。由于 $n\gt 2$，秩 $({(A')}^{*})=0$，所以 $({A}^{*})^{*}=0$。而 $|A|^{n-2}A=0$，因此等式成立。
当 $|A|\neq 0$ 时，矩阵 $A$ 是可逆的，即存在 $A^{-1}$ 使得 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$，其中 $E$ 是单位矩阵。根据伴随矩阵的定义，有 $AA^{*}=A^{*}A=|A|E$。因此，$A^{*}=|A|A^{-1}$。
步骤 2：计算 $({A}^{*})^{*}$
根据伴随矩阵的性质，$({A}^{*})^{*}=||A|A^{-1}|(A^{-1})^{-1}$。由于 $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$，所以 $||A|A^{-1}|=|A|^{n-1}$。因此，$({A}^{*})^{*}=|A|^{n-1}A$。
步骤 3：考虑 $|A|=0$ 的情况
当 $|A|=0$ 时，矩阵 $A$ 不可逆，秩 $(A)\leqslant 1$。由于 $n\gt 2$，秩 $({(A')}^{*})=0$，所以 $({A}^{*})^{*}=0$。而 $|A|^{n-2}A=0$，因此等式成立。