题目
设_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)是来自总体_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)的样本，而_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n) 服从区间_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)上的均匀分布。_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)是样本均值，则_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)______。
设
是来自总体
的样本，而 服从区间
上的均匀分布。
是样本均值，则
______。
题目解答
答案
根据题意，我们首先写出密度函数
。所以期望为
。并且，二阶矩为
所以方差
右式化简得到
。那么对于样本均值，有
。
解析
步骤 1：确定均匀分布的期望和方差
均匀分布的期望$E(X)$和方差$D(X)$可以分别通过以下公式计算：
- 期望$E(X) = \frac{a+b}{2}$
- 方差$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值$\overline{X}$的方差$D(\overline{X})$可以通过总体方差$D(X)$除以样本量$n$来计算，即$D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}$。
步骤 3：代入均匀分布的方差
将均匀分布的方差$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$代入到样本均值的方差公式中，得到$D(\overline{X}) = \frac{\frac{(b-a)^2}{12}}{n} = \frac{(b-a)^2}{12n}$。
均匀分布的期望$E(X)$和方差$D(X)$可以分别通过以下公式计算：
- 期望$E(X) = \frac{a+b}{2}$
- 方差$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值$\overline{X}$的方差$D(\overline{X})$可以通过总体方差$D(X)$除以样本量$n$来计算，即$D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}$。
步骤 3：代入均匀分布的方差
将均匀分布的方差$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$代入到样本均值的方差公式中，得到$D(\overline{X}) = \frac{\frac{(b-a)^2}{12}}{n} = \frac{(b-a)^2}{12n}$。