题目
36.（1.6分）已知X~N(1,4)，则P |X-1| leq 2 =______Phi(1)=0.8413，Phi(2)=0.9772
36.（1.6分）
已知X~N(1,4)，则$P\{ |X-1| \leq 2\} =\_\_\_\_\_\_$
$\Phi(1)=0.8413$，$\Phi(2)=0.9772$
题目解答
答案
将不等式 $ |X-1| \leq 2 $ 转换为 $ -1 \leq X \leq 3 $。
标准化变量 $ Z = \frac{X-1}{2} $，则 $ Z $ 服从标准正态分布 $ N(0,1) $。
对应 $ Z $ 的范围为 $ -1 \leq Z \leq 1 $。
利用标准正态分布表：
\[
P\{ -1 \leq Z \leq 1 \} = \Phi(1) - \Phi(-1) = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1
\]
代入 $ \Phi(1) = 0.8413 $：
\[
P\{ |X-1| \leq 2 \} = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826
\]
答案：$\boxed{0.6826}$
解析
步骤 1：转换不等式
将不等式 $ |X-1| \leq 2 $ 转换为 $ -1 \leq X \leq 3 $。
步骤 2：标准化变量
标准化变量 $ Z = \frac{X-1}{2} $，则 $ Z $ 服从标准正态分布 $ N(0,1) $。
步骤 3：确定 $ Z $ 的范围
对应 $ Z $ 的范围为 $ -1 \leq Z \leq 1 $。
步骤 4：利用标准正态分布表
利用标准正态分布表：\[ P\{ -1 \leq Z \leq 1 \} = \Phi(1) - \Phi(-1) = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1 \]
步骤 5：代入 $\Phi(1)$ 的值
代入 $ \Phi(1) = 0.8413 $：\[ P\{ |X-1| \leq 2 \} = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826 \]
将不等式 $ |X-1| \leq 2 $ 转换为 $ -1 \leq X \leq 3 $。
步骤 2：标准化变量
标准化变量 $ Z = \frac{X-1}{2} $，则 $ Z $ 服从标准正态分布 $ N(0,1) $。
步骤 3：确定 $ Z $ 的范围
对应 $ Z $ 的范围为 $ -1 \leq Z \leq 1 $。
步骤 4：利用标准正态分布表
利用标准正态分布表：\[ P\{ -1 \leq Z \leq 1 \} = \Phi(1) - \Phi(-1) = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1 \]
步骤 5：代入 $\Phi(1)$ 的值
代入 $ \Phi(1) = 0.8413 $：\[ P\{ |X-1| \leq 2 \} = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826 \]