题目
8. 假设随机变量X和Y的方差都等于1，X和Y的相关系数为0.25，则随机变量U=X+Y和V=X-2Y的协方差为_____.
8. 假设随机变量X和Y的方差都等于1，X和Y的相关系数为0.25，则随机变量U=X+Y和V=X-2Y的协方差为_____.
题目解答
答案
利用协方差的性质，展开并整理得：
\[
Cov(U, V) = Cov(X+Y, X-2Y) = \text{Var}(X) - 2\text{Var}(Y) - Cov(X, Y)
\]
代入已知条件 $\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = 1$，$Cov(X, Y) = 0.25$：
\[
Cov(U, V) = 1 - 2 \times 1 - 0.25 = -1.25
\]
**答案：** $\boxed{-1.25}$
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的性质，协方差的计算公式为：\[ Cov(U, V) = Cov(X+Y, X-2Y) \]
步骤 2：展开协方差公式
根据协方差的性质，可以将协方差公式展开为：\[ Cov(U, V) = Cov(X, X) - 2Cov(X, Y) + Cov(Y, X) - 2Cov(Y, Y) \]
步骤 3：代入已知条件
根据题目条件，$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = 1$，$Cov(X, Y) = 0.25$，代入上述公式：\[ Cov(U, V) = \text{Var}(X) - 2Cov(X, Y) + Cov(X, Y) - 2\text{Var}(Y) \]
步骤 4：简化并计算
简化上述公式，得到：\[ Cov(U, V) = 1 - 2 \times 0.25 + 0.25 - 2 \times 1 = 1 - 0.5 + 0.25 - 2 = -1.25 \]
根据协方差的性质，协方差的计算公式为：\[ Cov(U, V) = Cov(X+Y, X-2Y) \]
步骤 2：展开协方差公式
根据协方差的性质，可以将协方差公式展开为：\[ Cov(U, V) = Cov(X, X) - 2Cov(X, Y) + Cov(Y, X) - 2Cov(Y, Y) \]
步骤 3：代入已知条件
根据题目条件，$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = 1$，$Cov(X, Y) = 0.25$，代入上述公式：\[ Cov(U, V) = \text{Var}(X) - 2Cov(X, Y) + Cov(X, Y) - 2\text{Var}(Y) \]
步骤 4：简化并计算
简化上述公式，得到：\[ Cov(U, V) = 1 - 2 \times 0.25 + 0.25 - 2 \times 1 = 1 - 0.5 + 0.25 - 2 = -1.25 \]