19.设x1,x2,···,xn是来自某连续总体的一个样本.该总体的分布函数 F(x)-|||-是连续严增函数,证明:统计量 =-2sum _(i=1)^nln F((x)_(i)) 服从x^2(2n).

考查要点：本题主要考查概率积分变换、均匀分布与卡方分布之间的转换关系，以及独立卡方变量的可加性。

解题核心思路：

1. 概率积分变换：利用连续严格递增的分布函数$F(x)$将原变量转换为均匀分布。
2. 对数变换与卡方分布：将均匀分布变量通过$-2\ln Y$变换得到自由度为2的卡方分布。
3. 独立可加性：独立同分布的卡方变量之和的自由度为各自由度之和。

破题关键点：

• 关键步骤1：证明$F(X_i) \sim U(0,1)$。
• 关键步骤2：证明$-2\ln U \sim \chi^2(2)$（$U \sim U(0,1)$）。
• 关键步骤3：利用独立性将$n$个$\chi^2(2)$变量相加得到$\chi^2(2n)$。

步骤1：证明$F(X_i) \sim U(0,1)$

设$X \sim F(x)$，由于$F(x)$是连续严格递增函数，其反函数$F^{-1}(y)$存在。定义$Y = F(X)$，则$Y$的分布函数为：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y) = P(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y, \quad 0 < y < 1.$
因此，$Y = F(X) \sim U(0,1)$。

步骤2：证明$-2\ln U \sim \chi^2(2)$

设$U \sim U(0,1)$，定义$Z = -2\ln U$。当$z > 0$时，$Z$的分布函数为：
$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(-2\ln U \leq z) = P(U \geq e^{-z/2}) = 1 - e^{-z/2}.$
对$F_Z(z)$求导得概率密度函数：
$f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = \frac{1}{2} e^{-z/2}, \quad z > 0.$
这正是自由度为2的卡方分布的密度函数，故$Z \sim \chi^2(2)$。

步骤3：独立性与可加性

由于$x_1, x_2, \dots, x_n$独立，故$F(x_1), F(x_2), \dots, F(x_n)$独立，进而$-2\ln F(x_i)$独立。根据步骤2，每个$-2\ln F(x_i) \sim \chi^2(2)$，因此：
$T = \sum_{i=1}^n (-2\ln F(x_i)) \sim \chi^2(2n).$