题目
9.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，overline(X)为该总体的样本均值，则P(overline(X)A. B. =(1)/(4)C. >(1)/(2)D. =(1)/(2)
9.设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\overline{X}$为该总体的样本均值，则$P(\overline{X}<\mu)$（）
A. $<\frac{1}{4}$
B. $=\frac{1}{4}$
C. $>\frac{1}{2}$
D. $=\frac{1}{2}$
题目解答
答案
D. $=\frac{1}{2}$
解析
步骤 1：理解样本均值的分布
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，其中 $n$ 是样本容量。这意味着 $\overline{X}$ 的期望值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算 $P(\overline{X} < \mu)$，我们首先将 $\overline{X}$ 标准化。令 $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，则 $Z \sim N(0, 1)$，即 $Z$ 服从标准正态分布。
步骤 3：计算概率
求 $P(\overline{X} < \mu)$ 等价于求 $P(Z < 0)$。由于标准正态分布关于 0 对称，故 $P(Z < 0) = \frac{1}{2}$。因此，$P(\overline{X} < \mu) = \frac{1}{2}$。
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，其中 $n$ 是样本容量。这意味着 $\overline{X}$ 的期望值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算 $P(\overline{X} < \mu)$，我们首先将 $\overline{X}$ 标准化。令 $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，则 $Z \sim N(0, 1)$，即 $Z$ 服从标准正态分布。
步骤 3：计算概率
求 $P(\overline{X} < \mu)$ 等价于求 $P(Z < 0)$。由于标准正态分布关于 0 对称，故 $P(Z < 0) = \frac{1}{2}$。因此，$P(\overline{X} < \mu) = \frac{1}{2}$。