已知因果序列的 Z 变换 X(z) = (1 + z^-1 + z^-2)/((1 - z^-1))(1 - 2z^(-1))，则序列的终值 x(infty) = ( )A. 0.5B. 2C. 1D. 不存在

本题考查因果序列终值定理的应用。解题思路是先明确终值定理的使用条件，再判断给定的 Z 变换是否满足该条件，若满足则可利用终值定理计算序列的终值，若不满足则终值不存在。

步骤一：明确终值定理

对于因果序列 $x(n)$，其 Z 变换为 $X(z)$，终值定理指出：若 $X(z)$ 的所有极点（除 $z = 1$ 处可能有一阶极点外）都位于单位圆内，则 $x(\infty)=\lim_{z \to 1} (z - 1)X(z)$。

步骤二：对 $X(z)$ 进行变形

已知 $X(z) = \frac{1 + z^{-1} + z^{-2}}{(1 - z^{-1})(1 - 2z^{-1})}$，为了方便分析极点，将其分子分母同乘 $z^2$，得到 $X(z)=\frac{z^2 + z + 1}{(z - 1)(z - 2)}$。

步骤三：确定 $X(z)$ 的极点

令分母 $(z - 1)(z - 2)=0$，解得 $z_1 = 1$，$z_2 = 2$。其中 $z_2 = 2$ 位于单位圆外（因为单位圆的方程为 $|z| = 1$，$|2|\gt{}1$）。

步骤四：判断是否满足终值定理条件

由于 $X(z)$ 存在位于单位圆外的极点 $z = 2$，不满足终值定理中“所有极点（除 $z = 1$ 处可能有一阶极点外）都位于单位圆内”这一条件，所以不能使用终值定理计算 $x(\infty)$，即序列的终值不存在。