题目
4 【单选题】一种燃料辛烷的等级服从正态分布，其平均等级为98.0，均方差为0.8，今从一批25罐新油中各抽出一个样品，得到容量n=25的等级样本，求得样本均值为97.7，假定均方差与原来一样，问新油辛烷的平均等级与原来的是否有显著差异(α=5%)?bigcircA 有bigcircB 无
4 【单选题】一种燃料辛烷的等级服从正态分布，其平均等级为98.0，均方差为0.8，今从一批25罐新油中各抽出一个样品，得到容量n=25的等级样本，求得样本均值为97.7，假定均方差与原来一样，问新油辛烷的平均等级与原来的是否有显著差异(α=5%)?
$\bigcirc$A 有
$\bigcirc$B 无
题目解答
答案
为了确定新油辛烷的平均等级与原来的是否有显著差异，我们需要进行假设检验。具体步骤如下：
1. **建立假设：**
- 零假设 $ H_0 $：新油辛烷的平均等级与原来的没有显著差异，即 $ \mu = 98.0 $。
- 备择假设 $ H_1 $：新油辛烷的平均等级与原来的有显著差异，即 $ \mu \neq 98.0 $。
2. **确定检验统计量：**
由于总体方差已知，样本量较大，我们使用Z检验。检验统计量为：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中，$ \bar{X} $ 是样本均值，$ \mu_0 $ 是总体均值，$ \sigma $ 是总体标准差，$ n $ 是样本量。
3. **代入已知值：**
\[
\bar{X} = 97.7, \quad \mu_0 = 98.0, \quad \sigma = 0.8, \quad n = 25
\]
代入公式，得到：
\[
Z = \frac{97.7 - 98.0}{0.8 / \sqrt{25}} = \frac{-0.3}{0.8 / 5} = \frac{-0.3}{0.16} = -1.875
\]
4. **确定临界值：**
对于双侧检验，显著性水平 $ \alpha = 5\% $，查标准正态分布表，得到临界值 $ Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96 $。
5. **比较检验统计量与临界值：**
检验统计量 $ Z = -1.875 $ 的绝对值为 $ |Z| = 1.875 $。由于 $ 1.875 < 1.96 $，我们 fail to reject $ H_0 $。
6. **结论：**
由于检验统计量的绝对值小于临界值，我们没有足够的证据拒绝零假设。因此，新油辛烷的平均等级与原来的没有显著差异。
答案是 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：建立假设
- 零假设 $ H_0 $：新油辛烷的平均等级与原来的没有显著差异，即 $ \mu = 98.0 $。
- 备择假设 $ H_1 $：新油辛烷的平均等级与原来的有显著差异，即 $ \mu \neq 98.0 $。
步骤 2：确定检验统计量
- 由于总体方差已知，样本量较大，我们使用Z检验。检验统计量为：
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
其中，$ \bar{X} $ 是样本均值，$ \mu_0 $ 是总体均值，$ \sigma $ 是总体标准差，$ n $ 是样本量。
步骤 3：代入已知值
- $ \bar{X} = 97.7, \quad \mu_0 = 98.0, \quad \sigma = 0.8, \quad n = 25 $
- 代入公式，得到：
\[ Z = \frac{97.7 - 98.0}{0.8 / \sqrt{25}} = \frac{-0.3}{0.8 / 5} = \frac{-0.3}{0.16} = -1.875 \]
步骤 4：确定临界值
- 对于双侧检验，显著性水平 $ \alpha = 5\% $，查标准正态分布表，得到临界值 $ Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96 $。
步骤 5：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $ Z = -1.875 $ 的绝对值为 $ |Z| = 1.875 $。
- 由于 $ 1.875 < 1.96 $，我们 fail to reject $ H_0 $。
步骤 6：结论
- 由于检验统计量的绝对值小于临界值，我们没有足够的证据拒绝零假设。因此，新油辛烷的平均等级与原来的没有显著差异。
- 零假设 $ H_0 $：新油辛烷的平均等级与原来的没有显著差异，即 $ \mu = 98.0 $。
- 备择假设 $ H_1 $：新油辛烷的平均等级与原来的有显著差异，即 $ \mu \neq 98.0 $。
步骤 2：确定检验统计量
- 由于总体方差已知，样本量较大，我们使用Z检验。检验统计量为：
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
其中，$ \bar{X} $ 是样本均值，$ \mu_0 $ 是总体均值，$ \sigma $ 是总体标准差，$ n $ 是样本量。
步骤 3：代入已知值
- $ \bar{X} = 97.7, \quad \mu_0 = 98.0, \quad \sigma = 0.8, \quad n = 25 $
- 代入公式，得到：
\[ Z = \frac{97.7 - 98.0}{0.8 / \sqrt{25}} = \frac{-0.3}{0.8 / 5} = \frac{-0.3}{0.16} = -1.875 \]
步骤 4：确定临界值
- 对于双侧检验，显著性水平 $ \alpha = 5\% $，查标准正态分布表，得到临界值 $ Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96 $。
步骤 5：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $ Z = -1.875 $ 的绝对值为 $ |Z| = 1.875 $。
- 由于 $ 1.875 < 1.96 $，我们 fail to reject $ H_0 $。
步骤 6：结论
- 由于检验统计量的绝对值小于临界值，我们没有足够的证据拒绝零假设。因此，新油辛烷的平均等级与原来的没有显著差异。