题目
设_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)相互独立且服从相同的分布，_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)，记_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)，其中a，b为非零常数，则当Y服从自由度为2的_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)的分布时常数a，b的值为（）A._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)B._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)C._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)D._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)
设
相互独立且服从相同的分布，
，记
，其中a，b为非零常数，则当Y服从自由度为2的
的分布时常数a，b的值为（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
相互独立且服从相同的分布，表示
服从参数为
的正态分布，则
，则
，
，则
，则
，
，
，则
，则
，则
，则
，则
，因此选择A。
解析
步骤 1：计算$X_1 - 2X_2$的期望和方差
由于$X_1$和$X_2$相互独立且服从相同的正态分布$N(0,4)$，则$E(X_1) = 0$，$D(X_1) = 4$。因此，$E(X_1 - 2X_2) = E(X_1) - 2E(X_2) = 0 - 2 \times 0 = 0$，$D(X_1 - 2X_2) = D(X_1) + 4D(X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20$。所以，$X_1 - 2X_2 \sim N(0,20)$，$\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \sim N(0,1)$，则${(\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}})}^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 2：计算$3X_3 - 4X_4$的期望和方差
由于$X_3$和$X_4$相互独立且服从相同的正态分布$N(0,4)$，则$E(X_3) = 0$，$D(X_3) = 4$。因此，$E(3X_3 - 4X_4) = 3E(X_3) - 4E(X_4) = 3 \times 0 - 4 \times 0 = 0$，$D(3X_3 - 4X_4) = 9D(X_3) + 16D(X_4) = 9 \times 4 + 16 \times 4 = 100$。所以，$3X_3 - 4X_4 \sim N(0,100)$，$\frac{3X_3 - 4X_4}{10} \sim N(0,1)$，则${(\frac{3X_3 - 4X_4}{10})}^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：确定$Y$的分布
由于${(\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}})}^2 \sim \chi^2(1)$和${(\frac{3X_3 - 4X_4}{10})}^2 \sim \chi^2(1)$，则${(\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}})}^2 + {(\frac{3X_3 - 4X_4}{10})}^2 \sim \chi^2(2)$。因此，$Y = \frac{1}{20}{(X_1 - 2X_2)}^2 + \frac{1}{100}{(3X_3 - 4X_4)}^2 \sim \chi^2(2)$。所以，$a = \frac{1}{20}$，$b = \frac{1}{100}$。
由于$X_1$和$X_2$相互独立且服从相同的正态分布$N(0,4)$，则$E(X_1) = 0$，$D(X_1) = 4$。因此，$E(X_1 - 2X_2) = E(X_1) - 2E(X_2) = 0 - 2 \times 0 = 0$，$D(X_1 - 2X_2) = D(X_1) + 4D(X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20$。所以，$X_1 - 2X_2 \sim N(0,20)$，$\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \sim N(0,1)$，则${(\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}})}^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 2：计算$3X_3 - 4X_4$的期望和方差
由于$X_3$和$X_4$相互独立且服从相同的正态分布$N(0,4)$，则$E(X_3) = 0$，$D(X_3) = 4$。因此，$E(3X_3 - 4X_4) = 3E(X_3) - 4E(X_4) = 3 \times 0 - 4 \times 0 = 0$，$D(3X_3 - 4X_4) = 9D(X_3) + 16D(X_4) = 9 \times 4 + 16 \times 4 = 100$。所以，$3X_3 - 4X_4 \sim N(0,100)$，$\frac{3X_3 - 4X_4}{10} \sim N(0,1)$，则${(\frac{3X_3 - 4X_4}{10})}^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：确定$Y$的分布
由于${(\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}})}^2 \sim \chi^2(1)$和${(\frac{3X_3 - 4X_4}{10})}^2 \sim \chi^2(1)$，则${(\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}})}^2 + {(\frac{3X_3 - 4X_4}{10})}^2 \sim \chi^2(2)$。因此，$Y = \frac{1}{20}{(X_1 - 2X_2)}^2 + \frac{1}{100}{(3X_3 - 4X_4)}^2 \sim \chi^2(2)$。所以，$a = \frac{1}{20}$，$b = \frac{1}{100}$。