题目
8.设随机变量X服从自由度为n的t分布,即 sim t(n) (ngt 1) . =dfrac (1)({X)^2}, 则()-|||-A、 sim (chi )^2(n) B、 sim (chi )^2(n-1) C、 sim F(n,1) D、 sim F(1,n)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解t分布的定义
随机变量 $X$ 服从自由度为 $n$ 的 t 分布，即 $X \sim t(n)$，可以表示为 $X = \frac{Z}{\sqrt{U/n}}$，其中 $Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $U$ 相互独立。
步骤 2：计算 $Y$ 的分布
$Y = \frac{1}{X^2} = \frac{1}{\left(\frac{Z}{\sqrt{U/n}}\right)^2} = \frac{U/n}{Z^2}$。由于 $Z^2 \sim \chi^2(1)$，所以 $Y$ 可以表示为 $Y = \frac{U/n}{Z^2}$，其中 $U \sim \chi^2(n)$，$Z^2 \sim \chi^2(1)$，且 $U$ 和 $Z^2$ 相互独立。
步骤 3：确定 $Y$ 的分布类型
根据F分布的定义，如果 $U \sim \chi^2(n)$，$V \sim \chi^2(m)$，且 $U$ 和 $V$ 相互独立，则 $\frac{U/n}{V/m} \sim F(n,m)$。因此，$Y = \frac{U/n}{Z^2} \sim F(n,1)$。
随机变量 $X$ 服从自由度为 $n$ 的 t 分布，即 $X \sim t(n)$，可以表示为 $X = \frac{Z}{\sqrt{U/n}}$，其中 $Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $U$ 相互独立。
步骤 2：计算 $Y$ 的分布
$Y = \frac{1}{X^2} = \frac{1}{\left(\frac{Z}{\sqrt{U/n}}\right)^2} = \frac{U/n}{Z^2}$。由于 $Z^2 \sim \chi^2(1)$，所以 $Y$ 可以表示为 $Y = \frac{U/n}{Z^2}$，其中 $U \sim \chi^2(n)$，$Z^2 \sim \chi^2(1)$，且 $U$ 和 $Z^2$ 相互独立。
步骤 3：确定 $Y$ 的分布类型
根据F分布的定义，如果 $U \sim \chi^2(n)$，$V \sim \chi^2(m)$，且 $U$ 和 $V$ 相互独立，则 $\frac{U/n}{V/m} \sim F(n,m)$。因此，$Y = \frac{U/n}{Z^2} \sim F(n,1)$。