3. 设总体X服从几何分布 P(X=k)=p(1-p)^k-1,k=1,2,...,0<1, 试利用样本x_(1),x_(2),...,x_(n)求参数p的极大似然估计.

为了求参数 $ p $ 的极大似然估计，我们首先需要写出似然函数。似然函数 $ L(p) $ 是样本 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 的联合概率，即 \[ L(p) = P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n). \] 由于 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 是独立同分布的，似然函数可以写为 \[ L(p) = \prod_{i=1}^n P(X_i = x_i) = \prod_{i=1}^n p (1-p)^{x_i-1}. \] 我们可以将这个乘积展开为 \[ L(p) = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-1)} = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - n}. \] 为了找到似然函数的最大值，我们通常对似然函数取自然对数，得到对数似然函数 $ \ell(p) $: \[ \ell(p) = \ln L(p) = \ln \left( p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - n} \right) = n \ln p + \left( \sum_{i=1}^n x_i - n \right) \ln (1-p). \] 接下来，我们对对数似然函数关于 $ p $ 求导，并令导数等于零: \[ \frac{d \ell(p)}{d p} = \frac{n}{p} - \frac{\sum_{i=1}^n x_i - n}{1-p}. \] 令导数等于零，我们得到 \[ \frac{n}{p} - \frac{\sum_{i=1}^n x_i - n}{1-p} = 0. \] 为了解这个方程，我们首先找到一个共同的分母: \[ \frac{n(1-p) - p(\sum_{i=1}^n x_i - n)}{p(1-p)} = 0. \] 由于分母 $ p(1-p) $ 不为零（因为 $ 0 < p < 1 $），我们只需解分子等于零的方程: \[ n - np - p \sum_{i=1}^n x_i + np = n - p \sum_{i=1}^n x_i = 0. \] 解这个方程，我们得到 \[ p \sum_{i=1}^n x_i = n \quad \Rightarrow \quad p = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}. \] 样本均值 $ \bar{x} $ 定义为 \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, \] 所以我们可以将 $ p $ 的估计写为 \[ p = \frac{n}{n \bar{x}} = \frac{1}{\bar{x}}. \] 因此，参数 $ p $ 的极大似然估计是 \[ \boxed{\frac{1}{\bar{x}}}. \]