题目
3.判断题样本方差S^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2是总体Xsim N(mu,sigma^2)中sigma^2的无偏估计量，S_(n)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2是总体X中sigma^2的有偏估计。A 对B 错
3.判断题
样本方差$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$是总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$中$\sigma^{2}$的无偏估计量，$S_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$是总体$X$中$\sigma^{2}$的有偏估计。
A 对
B 错
题目解答
答案
对于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为：
\[
E[S^2] = \sigma^2
\]
因此，$S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。
样本方差 $S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为：
\[
E[S_n^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2 < \sigma^2
\]
因此，$S_n^2$ 是 $\sigma^2$ 的有偏估计量。
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：样本方差$S^{2}$的无偏性
样本方差$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$是总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$中$\sigma^{2}$的无偏估计量，这意味着$E[S^{2}]=\sigma^{2}$。这是因为样本方差的分母是$n-1$，这使得样本方差的期望值等于总体方差$\sigma^{2}$。
步骤 2：样本方差$S_{n}^{2}$的有偏性
样本方差$S_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$是总体$X$中$\sigma^{2}$的有偏估计量，这意味着$E[S_{n}^{2}] \neq \sigma^{2}$。这是因为样本方差的分母是$n$，这使得样本方差的期望值小于总体方差$\sigma^{2}$，即$E[S_{n}^{2}] = \frac{n-1}{n} \sigma^{2} < \sigma^{2}$。
样本方差$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$是总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$中$\sigma^{2}$的无偏估计量，这意味着$E[S^{2}]=\sigma^{2}$。这是因为样本方差的分母是$n-1$，这使得样本方差的期望值等于总体方差$\sigma^{2}$。
步骤 2：样本方差$S_{n}^{2}$的有偏性
样本方差$S_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$是总体$X$中$\sigma^{2}$的有偏估计量，这意味着$E[S_{n}^{2}] \neq \sigma^{2}$。这是因为样本方差的分母是$n$，这使得样本方差的期望值小于总体方差$\sigma^{2}$，即$E[S_{n}^{2}] = \frac{n-1}{n} \sigma^{2} < \sigma^{2}$。