题目
某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目.选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：思想政治地理化学生物物理类100120200180历史类1201406080(1)利用上述样本数据填写以下2times 2列联表，并依据小概率值alpha =0.001的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异.科类生物学科选法选不选合计物理类历史类合计(2)假设该校高一所有学生中有(3)/(5)的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为(1)/(5)，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为(1)/(10).若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E(X).附：(χ^2)=(n({(ad-bc))^2})/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))alpha 0.10.050.010.0050.001x_(alpha )2.7063.8416.6357.87910.828
某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目.选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：
$(1)$利用上述样本数据填写以下$2\times 2$列联表，并依据小概率值$\alpha =0.001$的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异.
$(2)$假设该校高一所有学生中有$\frac{3}{5}$的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为$\frac{1}{5}$，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为$\frac{1}{10}$.若从该校高一所有学生中随机抽取$100$名学生，用$X$表示这$100$名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量$X$的均值$E\left(X\right)$.
附：${χ^2}=\frac{n{{(ad-bc)}^2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
| 思想政治 | 地理 | 化学 | 生物 | |
| 物理类 | $100$ | $120$ | $200$ | $180$ |
| 历史类 | $120$ | $140$ | $60$ | $80$ |
| 科类 | 生物学科选法 | ||
| 选 | 不选 | 合计 | |
| 物理类 | |||
| 历史类 | |||
| 合计 | |||
附：${χ^2}=\frac{n{{(ad-bc)}^2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
| $\alpha $ | $0.1$ | $0.05$ | $0.01$ | $0.005$ | $0.001$ |
| $x_{\alpha }$ | $2.706$ | $3.841$ | $6.635$ | $7.879$ | $10.828$ |
题目解答
答案
（1）由题意可得：选择物理类的总人数有$600$，
其中选择生物学科的人数为$180$，不选择生物学科的人数为$420$，
选择历史类的总人数有$400$，其中选择生物学科的人数为$80$，不选择生物学科的人数为$320$，
据此完善$2\times 2$列联表，如下：
零假设$H_{0}$：两类学生对生物学科的选法没有差异，
可得$X^{2}=\frac{1000(180×320-80×420)^{2}}{260×740×600×400}\approx 12.47 \gt 10.828=x_{0.001}$，
根据小概率值$\alpha =0.001$可知假设不成立，
故可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且犯错误的概率不大于$0.001$；
$(2)$记“学生选择物理类”为事件$M$，“学生选择历史类”为事件$N$，“同时选择的地理和化学”为事件$C$，
则$P(M)=\frac{3}{5}，P(N)=1-P(M)=\frac{2}{5}，P(C|M)=\frac{1}{5}，P(C|N)=\frac{1}{10}$，
故$P(C)=P(M)P(C|M)+P(N)P(C|N)=\frac{3}{5}×\frac{1}{5}+\frac{2}{5}×\frac{1}{10}=\frac{4}{25}$，
由题意可得$X～B(100，\frac{4}{25})$，则$E(X)=100×\frac{4}{25}=16$，
故随机变量$X$的均值$E\left(X\right)=16$.
其中选择生物学科的人数为$180$，不选择生物学科的人数为$420$，
选择历史类的总人数有$400$，其中选择生物学科的人数为$80$，不选择生物学科的人数为$320$，
据此完善$2\times 2$列联表，如下：
| 科类 | 生物学科选法 | ||
| 选 | 不选 | 合计 | |
| 物理类 | $180$ | $420$ | $600$ |
| 历史类 | $80$ | $320$ | $400$ |
| 合计 | $260$ | $740$ | $1000$ |
可得$X^{2}=\frac{1000(180×320-80×420)^{2}}{260×740×600×400}\approx 12.47 \gt 10.828=x_{0.001}$，
根据小概率值$\alpha =0.001$可知假设不成立，
故可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且犯错误的概率不大于$0.001$；
$(2)$记“学生选择物理类”为事件$M$，“学生选择历史类”为事件$N$，“同时选择的地理和化学”为事件$C$，
则$P(M)=\frac{3}{5}，P(N)=1-P(M)=\frac{2}{5}，P(C|M)=\frac{1}{5}，P(C|N)=\frac{1}{10}$，
故$P(C)=P(M)P(C|M)+P(N)P(C|N)=\frac{3}{5}×\frac{1}{5}+\frac{2}{5}×\frac{1}{10}=\frac{4}{25}$，
由题意可得$X～B(100，\frac{4}{25})$，则$E(X)=100×\frac{4}{25}=16$，
故随机变量$X$的均值$E\left(X\right)=16$.