甲、乙、丙三人未来三周均要去A、B、C三个地方调研，每人每个地方调研时长为1周，如每个人随机安排顺序，则每周三个人去的地方都不同的概率为（ ）。A. (1)/(3)B. (1)/(6)C. (1)/(9)D. (1)/(18)
甲、乙、丙三人未来三周均要去A、B、C三个地方调研，每人每个地方调研时长为1周，如每个人随机安排顺序，则每周三个人去的地方都不同的概率为（ ）。 A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{6}$ C. $\frac{1}{9}$ D. $\frac{1}{18}$
题目解答
答案
我们来一步一步分析这道概率题。
题目理解
- 有三个人：甲、乙、丙。
- 有三个地方：A、B、C。
- 每个人要在三个地方各调研 1周，共三周。
- 每人每周去一个地方，每个地方只去一次，所以每人对A、B、C的访问顺序是一个排列。
- 每个人独立地、随机安排自己去A、B、C的顺序（即每人从3! = 6种排列中等概率选择一种）。
- 问：每周，三个人去的地方都不同的概率是多少？
换句话说，我们要计算：
在三周中的每一周，甲、乙、丙三人去的地点互不相同（即每周三个人分别去A、B、C，只是顺序不同）的概率。
解题思路
我们设：
- 每个人的行程安排是一个对 {A, B, C} 的排列，表示第1周、第2周、第3周分别去哪个地方。
- 三人独立随机选择自己的排列，总共有 $6 \times 6 \times 6 = 216$ 种可能的安排组合。
我们要求的是：在所有这216种安排中，有多少种满足“每周三个人去的地方都不同”。
也就是说：
- 第1周：甲、乙、丙去的三个地方互不相同（即恰好是A、B、C的一个排列）；
- 第2周：同上；
- 第3周：同上。
关键观察：每周的分布
我们可以从“每周”的角度来分析。
每个人选择一个排列，相当于给三周分配三个不同的地点。
我们把每个人的安排看作一个排列，比如甲选择 (A,B,C)，表示第1周去A，第2周去B，第3周去C。
现在我们考虑三个人的安排组合，使得：
- 在第1周，三人去的地方是A、B、C的一个排列（即互不相同）；
- 在第2周，三人去的地方也是A、B、C的一个排列；
- 在第3周，同样。
这相当于：把三个人三周的行程排成一个 $3 \times 3$ 的矩阵，每一行是一个人的行程（三个地点的排列），每一列是一周中三个人去的地方。
我们要求：每一列也必须是A、B、C的一个排列。
换句话说，这个 $3 \times 3$ 的矩阵，每一行是一个排列，每一列也是一个排列 —— 这正是一个 拉丁方阵（Latin Square） 的定义！
问题转化为：拉丁方阵的数量
我们的问题等价于：
> 从所有 $6^3 = 216$ 种三人独立选择排列的组合中，有多少种能构成一个 $3 \times 3$ 的拉丁方阵？
注意：这里的拉丁方阵要求：
- 每行是 {A,B,C} 的一个排列（满足）；
- 每列也是 {A,B,C} 的一个排列（我们要求的条件）。
所以我们需要计算：有多少个 $3 \times 3$ 的拉丁方阵，其中行是任意排列，列也都是排列。
但注意：我们不是在数所有拉丁方阵，而是数三人各自独立随机选一个排列，使得列也构成排列的组合数。
计算满足条件的安排数
我们来计算：有多少种三人排列的组合，使得每周三人的去向都不同。
方法：枚举所有可能的拉丁方阵（固定符号为A,B,C）
3阶拉丁方阵的数量是已知的：
> 3阶拉丁方阵的总数是 12 个。
解释如下：
- 第一行固定为 (A,B,C)，则剩下的行有 2 个可能的拉丁方阵（标准结果）。
- 但由于第一行可以是任意排列（6种），而每种标准形式可以通过列置换和符号置换得到，实际总数为 12。
更准确地说：3阶拉丁方阵（基于集合 {A,B,C}）的总数是 12 个。
> 参考：n阶拉丁方阵的数量：
> - n=1: 1
> - n=2: 2
> - n=3: 12
所以，总共有 12 个不同的 $3 \times 3$ 的拉丁方阵，其中每行每列都是A,B,C的排列。
每一个这样的拉丁方阵对应一种安排方式：三个人的三周行程，满足每周三人都去不同地方。
但注意：每一个拉丁方阵对应一种“三人行程安排”，即三个人的排列顺序。
例如，一个拉丁方阵：
$\begin{array}{ccc}A & B & C \\B & C & A \\C & A & B \\\end{array}$
表示：
- 甲：(A,B,C)
- 乙：(B,C,A)
- 丙：(C,A,B)
这对应一种有效的安排。
所以，有多少个这样的拉丁方阵，就有多少种满足条件的三人排列组合。
但注意：拉丁方阵的每一行是某个人的行程安排，而三个人是有区别的（甲、乙、丙），所以每个拉丁方阵的行是分配给具体的人的。
因此，每个拉丁方阵对应一种有效的（甲、乙、丙）的排列组合。
所以，满足“每周三人都去不同地方”的安排总数 = 12。
总的可能安排数
每个人有 $3! = 6$ 种安排方式，三人独立选择：
$6 \times 6 \times 6 = 216$
所求概率
$P = \frac{\text{满足条件的安排数}}{\text{总安排数}} = \frac{12}{216} = \frac{1}{18}$
答案
$\boxed{D. \frac{1}{18}}$
总结解题过程
- 每个人随机安排三周去A、B、C的顺序，共 $6^3 = 216$ 种可能。
- 要求每周三人都去不同的地方，即每周三人的去向构成A、B、C的一个排列。
- 这等价于三个人的行程构成一个 $3 \times 3$ 的拉丁方阵。
- 3阶拉丁方阵共有12个。
- 因此满足条件的情况有12种。
- 概率为 $ \frac{12}{216} = \frac{1}{18} $。
✅ 最终答案：D. $\frac{1}{18}$