题目

随机变量 X 服从正态分布 N(50,100)，求 P(40 < X < 60)。

随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(50,100)$，求 $P(40 < X < 60)$。

题目解答

我们来一步一步地解这道题：

题目：

随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(50, 100) $，求 $ P(40 < X < 60) $。

第一步：理解正态分布的参数

正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 中：

题目中给出 $ X \sim N(50, 100) $，所以：

第二步：标准化为标准正态分布

我们要求的是：
$P(40 < X < 60)$

为了使用标准正态分布表（即 $ Z \sim N(0,1) $），我们需要对 $ X $ 进行标准化，使用公式：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

将区间的两个端点标准化：

所以：
$P(40 < X < 60) = P(-1 < Z < 1)$

第三步：查标准正态分布表

我们查标准正态分布表，求：

$P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)$

查表得：

所以：
$P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826$

第四步：得出答案

因此，
$\boxed{P(40 < X < 60) \approx 0.6826}$

补充说明：

这个结果也符合正态分布的“经验法则”（68-95-99.7法则）：

大约 68.26% 的数据落在均值 ±1 个标准差范围内。
这里 $ \mu = 50 $，$ \sigma = 10 $，所以 $ 50 \pm 10 $ 正好是 $ (40, 60) $，因此概率约为 68.26%。

最终答案：

$\boxed{0.6826}$

本题考查正态分布的性质以及如何将一般正态分布转化为标准正态分布来计算概率。解题思路如下：

首先明确正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$中参数$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差，根据题目所给信息确定$\mu$和$\sigma$的值。
然后利用标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$将一般正态分布$X$转化为标准正态分布$Z$，把$X$的取值范围转化为$Z$的取值范围。
接着根据标准正态分布的性质$P(a < Z < b)=P(Z < b)-P(Z < a)$，通过查标准正态分布表得到$P(Z < b)$和$P(Z < a)$的值，进而计算出$P(a < Z < b)$。
最后得出$P(40 < X < 60)$的值。

具体计算过程如下：

确定正态分布的参数：
已知随机变量$X$服从正态分布$N(50,100)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的定义，可得均值$\mu = 50$，方差$\sigma^{2}=100$。
因为标准差$\sigma$是方差$\sigma^{2}$的算术平方根，所以$\sigma=\sqrt{100} = 10$。
将一般正态分布转化为标准正态分布：
要求$P(40 < X < 60)$，使用标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$对$X$进行标准化。
当$X = 40$时，$Z_1=\frac{40 - 50}{10}=\frac{-10}{10}=-1$；
当$X = 60$时，$Z_2=\frac{60 - 50}{10}=\frac{10}{10}=1$。
所以$P(40 < X < 60)=P(-1 < Z < 1)$。
计算$P(-1 < Z < 1)$：
根据标准正态分布的性质$P(-1 < Z < 1)=P(Z < 1)-P(Z < -1)$。
查标准正态分布表可得$P(Z < 1)\approx0.8413$，$P(Z < -1)\approx0.1587$。
则$P(-1 < Z < 1)=0.8413 - 0.1587 = 0.6826$。
得出最终结果：
因为$P(40 < X < 60)=P(-1 < Z < 1)$，所以$P(40 < X < 60)\approx0.6826$。