题目
[1.50]设总体服从泊松分布P(λ),X1 X2,···,Xn是一样本.-|||-(1)写出X1,X2,···,Xn的概率分布.-|||-(2)计算E(X),D((X)和E(S^2).-|||-(3)设总体的容量为10的一组样本观察值为 (1,2,4,3,3,4,5,6,4,8) ,试计算样本均值、样-|||-本方差和经验分布函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出X1,X2,···,Xn的概率分布
由于总体服从泊松分布P(λ)，所以每个样本Xi的概率分布为泊松分布，即
$P(X_i = x) = \dfrac{{\lambda}^x e^{-\lambda}}{x!}$，其中x = 0, 1, 2, ...
步骤 2：计算E(X),D(X)和E(S^2)
由于总体服从泊松分布P(λ)，所以E(X) = D(X) = λ。样本均值$\overline{X}$的期望和方差分别为
$E(\overline{X}) = E(X) = \lambda$，
$D(\overline{X}) = \dfrac{D(X)}{n} = \dfrac{\lambda}{n}$。
样本方差$S^2$的期望为
$E(S^2) = D(X) = \lambda$。
步骤 3：计算样本均值、样本方差和经验分布函数
样本均值$\overline{X}$为
$\overline{X} = \dfrac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i = \dfrac{1}{10}(1+2+4+3+3+4+5+6+4+8) = 4$。
样本方差$S^2$为
$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 = \dfrac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i - 4)^2 = 4$。
经验分布函数$F_{10}(x)$为
$F_{10}(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\ 0.1, & 1 \leq x < 2 \\ 0.2, & 2 \leq x < 3 \\ 0.4, & 3 \leq x < 4 \\ 0.6, & 4 \leq x < 5 \\ 0.7, & 5 \leq x < 6 \\ 0.8, & 6 \leq x < 8 \\ 1, & x \geq 8 \end{cases}$。
由于总体服从泊松分布P(λ)，所以每个样本Xi的概率分布为泊松分布，即
$P(X_i = x) = \dfrac{{\lambda}^x e^{-\lambda}}{x!}$，其中x = 0, 1, 2, ...
步骤 2：计算E(X),D(X)和E(S^2)
由于总体服从泊松分布P(λ)，所以E(X) = D(X) = λ。样本均值$\overline{X}$的期望和方差分别为
$E(\overline{X}) = E(X) = \lambda$，
$D(\overline{X}) = \dfrac{D(X)}{n} = \dfrac{\lambda}{n}$。
样本方差$S^2$的期望为
$E(S^2) = D(X) = \lambda$。
步骤 3：计算样本均值、样本方差和经验分布函数
样本均值$\overline{X}$为
$\overline{X} = \dfrac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i = \dfrac{1}{10}(1+2+4+3+3+4+5+6+4+8) = 4$。
样本方差$S^2$为
$S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 = \dfrac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i - 4)^2 = 4$。
经验分布函数$F_{10}(x)$为
$F_{10}(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\ 0.1, & 1 \leq x < 2 \\ 0.2, & 2 \leq x < 3 \\ 0.4, & 3 \leq x < 4 \\ 0.6, & 4 \leq x < 5 \\ 0.7, & 5 \leq x < 6 \\ 0.8, & 6 \leq x < 8 \\ 1, & x \geq 8 \end{cases}$。