题目
设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)为抽自两点分布_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的样本，_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)，_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)，求参数_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的极大似然估计.
设
为抽自两点分布
的样本，
，
，求参数
的极大似然估计.
题目解答
答案
样本都满足两点分布，且相互独立
∴ 事件
发生的概率为：
∴ 似然函数为：
对似然函数取对数，有：
对上式求导数，有：
令
，有：
解得
解析
步骤 1：确定似然函数
样本X1,X 2,.,Xn都满足两点分布B(1,p)，且相互独立。因此，事件{${X}_{1}={x}_{1}$, ${X}_{2}={x}_{2}$, ..., ${X}_{n}={x}_{n}$}发生的概率为：
$P({x}_{1}={x}_{1})\cdot P({x}_{2}={x}_{2})\cdots \cdot P({x}_{n}={x}_{n})={p}^{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{(1-p)}^{n-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}$
步骤 2：对似然函数取对数
对似然函数取对数，有：
$\ln L(p)=\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}\ln p+(n-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i})\ln (1-p)$
步骤 3：求导数并令其为0
对上式求导数，有：
$\frac{d}{dp}[\ln L(p)]=\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{p}-\frac{n-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{1-p}$
令$\frac{d}{dp}[\ln L(p)]=0$，有：
$\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{p}-\frac{n-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{1-p}=0$
步骤 4：求解极大似然估计
解得$p=\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{n}$
样本X1,X 2,.,Xn都满足两点分布B(1,p)，且相互独立。因此，事件{${X}_{1}={x}_{1}$, ${X}_{2}={x}_{2}$, ..., ${X}_{n}={x}_{n}$}发生的概率为：
$P({x}_{1}={x}_{1})\cdot P({x}_{2}={x}_{2})\cdots \cdot P({x}_{n}={x}_{n})={p}^{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{(1-p)}^{n-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}$
步骤 2：对似然函数取对数
对似然函数取对数，有：
$\ln L(p)=\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}\ln p+(n-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i})\ln (1-p)$
步骤 3：求导数并令其为0
对上式求导数，有：
$\frac{d}{dp}[\ln L(p)]=\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{p}-\frac{n-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{1-p}$
令$\frac{d}{dp}[\ln L(p)]=0$，有：
$\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{p}-\frac{n-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{1-p}=0$
步骤 4：求解极大似然估计
解得$p=\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}{n}$