1.（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（）A. (1)/(6)B. (1)/(4)C. (1)/(3)D. (1)/(2)

本题考查古典概型概率的计算，解题思路是先求出四人出场的所有可能排列情况，再求出满足“丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场”的排列情况，最后根据古典概型概率公式计算概率。

步骤一：计算四人出场的所有可能排列情况

根据排列数公式$A_{n}^m=\frac{n!}{(n - m)!}$，四人进行全排列，即$n = 4$，$m = 4$，那么所有的出场次序情况有$A_{4}^4$种。
$\begin{align*}A_{4}^4&=\frac{4!}{(4 - 4)!}\\&=\frac{4!}{0!}\\&=4\times3\times2\times1\\&= 24\end{align*}$

步骤二：计算满足条件的排列情况

“丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场”可分两种情况讨论：

• 情况一：甲最后出场
  此时丙不能第一个出场，那么第一个出场的可以从乙、丁中选$1$人，有$C_{2}^1$种选法；剩下的两人全排列，有$A_{2}^2$种排法。
  根据分步乘法计数原理，这种情况下的排法有$C_{2}^1\times A_{2}^2$种。
  其中$C_{2}^1=\frac{2!}{1!(2 - 1)!}=\frac{2!}{1!1!}= 2$，$A_{2}^2=\frac{2!}{(2 - 2)!}=\frac{2!}{0!}=2\times1 = 2$，所以$C_{2}^1\times A_{2}^2 = 2\times2 = 4$种。
• 情况二：乙最后出场
  同理，此时丙不能第一个出场，第一个出场的可以从甲、丁中选$1$人，有$C_{2}^1$种选法；剩下的两人全排列，有$A_{2}^2$种排法。
  根据分步乘法计数原理，这种情况下的排法有$C_{2}^1\times A_{2}^2$种，同样可得$C_{2}^1\times A_{2}^2 = 2\times2 = 4$种。

由分类加法计数原理，满足“丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场”的排法共有$4 + 4 = 8$种。

步骤三：根据古典概型概率公式计算概率

古典概型概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$所包含的基本事件数。
已知$n = 24$，$m = 8$，则所求概率$P = \frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。