1.设 alpha =((1-{x)^2)}^sin 2x-1, beta =(int )_(0)^(ln ^2dfrac {1+x)(1-x)}((e)^-(t^2)-1)dt, =sqrt [3](1+{x)^4}-sqrt [4](1-2{x)^4}, 当x→0时,三-|||-个无穷小阶数由低到高的次序为 ()-|||-A.α,β,y B.α,y,β C.y,β,α D.β,y,α

考查要点：本题主要考查无穷小阶数的比较，涉及泰勒展开、积分近似展开及根式展开的应用。

解题核心思路：

1. 展开各表达式至最低非零阶项，确定每个无穷小的主部；
2. 比较主部的阶数，确定由低到高的顺序。

破题关键点：

• α的处理：利用指数函数展开，将$(1-x^2)^{\sin 2x}-1$转化为指数形式，展开至$x^3$项；
• β的处理：先展开积分上限$\ln^2\frac{1+x}{1-x}$至$x^2$项，再对积分函数$e^{-t^2}-1$展开至$t^2$项，积分后得到主部；
• γ的处理：分别对$\sqrt[3]{1+x^4}$和$\sqrt[4]{1-2x^4}$展开至$x^4$项，相减后得到主部。

α的阶数分析

1. 表达式变形：
   $\alpha = (1-x^2)^{\sin 2x} - 1 = e^{\sin 2x \cdot \ln(1-x^2)} - 1$
2. 泰勒展开：
   • $\ln(1-x^2) \approx -x^2 - \frac{x^4}{2}$
   • $\sin 2x \approx 2x - \frac{(2x)^3}{6} = 2x - \frac{4x^3}{3}$
3. 乘积展开：
   $\sin 2x \cdot \ln(1-x^2) \approx (2x)(-x^2) + \cdots = -2x^3$
4. 指数展开：
   $e^{-2x^3} \approx 1 - 2x^3 + \cdots$
   因此，$\alpha \approx -2x^3$，阶数为$x^3$。

β的阶数分析

1. 积分上限展开：
   $\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+2x+\cdots) \approx 2x + \frac{(2x)^3}{3} = 2x + \frac{8x^3}{3}$
   平方后：$\ln^2\frac{1+x}{1-x} \approx (2x)^2 = 4x^2$
2. 积分函数展开：
   $e^{-t^2} - 1 \approx -t^2$
3. 积分计算：
   $\beta \approx \int_0^{4x^2} (-t^2) dt = -\frac{(4x^2)^3}{3} = -\frac{64x^6}{3}$，阶数为$x^6$。

γ的阶数分析

1. 根式展开：
   • $\sqrt[3]{1+x^4} \approx 1 + \frac{1}{3}x^4$
   • $\sqrt[4]{1-2x^4} \approx 1 - \frac{1}{2}x^4$
2. 相减结果：
   $\gamma \approx \left(1+\frac{1}{3}x^4\right) - \left(1-\frac{1}{2}x^4\right) = \frac{5}{6}x^4$，阶数为$x^4$。