题目
设_(i)(i=1,2,... ,)为_(i)(i=1,2,... ,)个互异的素数，_(i)(i=1,2,... ,)。证明多项式_(i)(i=1,2,... ,)在有理数域上不可约。
设
为
个互异的素数，
。证明多项式
在有理数域上不可约。
为个互异的素数，。证明多项式在有理数域上不可约。题目解答
答案
因为多项式
所以
考虑素数
显然
无法整除
无法整除因为为个互异的素数
为个互异的素数所以
的因子中最多只有一个
的因子中最多只有一个所以
无法整除
无法整除因为其余项
，而
除以任何不为的数都为，所以能整除其余项
，而除以任何不为的数都为，所以能整除其余项由艾森斯坦判别法得多项式在有理数域上不可约
在有理数域上不可约解析
步骤 1：定义多项式
多项式$f(x)={x}^{n}-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$，其中${p}_{i}(i=1,2,\cdots ,t)$为互异的素数，且$t步骤 2：应用艾森斯坦判别法
艾森斯坦判别法指出，如果一个多项式$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$满足以下条件，则该多项式在有理数域上不可约：
- 存在一个素数$p$，使得$p$整除$a_{i}$（$i=0,1,\cdots,n-1$），但不整除$a_{n}$；
- $p^{2}$不整除$a_{0}$。
步骤 3：验证条件
- 对于多项式$f(x)={x}^{n}-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$，有$a_{n}=1$，$a_{0}=-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$，其余项$a_{i}=0$（$i\neq n,0$）。
- 选择素数$p=p_{1}$，显然$p$不整除$a_{n}=1$。
- $p$整除$a_{0}=-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$，但$p^{2}$不整除$a_{0}$，因为$p_{i}(i=1,2,\cdots,t)$为互异的素数，所以$p_{1}p_{2}\cdots p_{t}$的因子中最多只有一个$p$。
步骤 4：结论
根据艾森斯坦判别法，多项式$f(x)={x}^{n}-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$在有理数域上不可约。
多项式$f(x)={x}^{n}-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$，其中${p}_{i}(i=1,2,\cdots ,t)$为互异的素数，且$t
艾森斯坦判别法指出，如果一个多项式$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$满足以下条件，则该多项式在有理数域上不可约：
- 存在一个素数$p$，使得$p$整除$a_{i}$（$i=0,1,\cdots,n-1$），但不整除$a_{n}$；
- $p^{2}$不整除$a_{0}$。
步骤 3：验证条件
- 对于多项式$f(x)={x}^{n}-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$，有$a_{n}=1$，$a_{0}=-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$，其余项$a_{i}=0$（$i\neq n,0$）。
- 选择素数$p=p_{1}$，显然$p$不整除$a_{n}=1$。
- $p$整除$a_{0}=-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$，但$p^{2}$不整除$a_{0}$，因为$p_{i}(i=1,2,\cdots,t)$为互异的素数，所以$p_{1}p_{2}\cdots p_{t}$的因子中最多只有一个$p$。
步骤 4：结论
根据艾森斯坦判别法，多项式$f(x)={x}^{n}-p{p}_{2}\cdots {p}_{t}$在有理数域上不可约。