21.(本题满分12分)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，若极限lim_(xto a^+)(f(2x-a))/(x-a)存在，证明：(1)在(a,b)内，f(x)>0;(2)在(a,b)内存在一点ξ，使得(b^2-a^2)/(int_(a)^bf(x)dx)=(2xi)/(f(xi));(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使得f'(eta)(b^2-a^2)=(2xi)/(xi-a)int_(a)^bf(x)dx.

(1) 由极限 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(2x-a)}{x-a}$ 存在，得 $f(a) = 0$。 由 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调递增，故 $f(x) > f(a) = 0$。 (2) 令 $F(x) = x^2$，$G(x) = \int_a^x f(t) \, dt$， 由柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$， \[ \frac{F(b) - F(a)}{G(b) - G(a)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} \Rightarrow \frac{b^2 - a^2}{\int_a^b f(x) \, dx} = \frac{2\xi}{f(\xi)}. \] (3) 由(2)得 $\int_a^b f(x) \, dx = \frac{f(\xi)(b^2 - a^2)}{2\xi}$， 代入得 $f'(\eta)(b^2 - a^2) = \frac{2\xi}{\xi - a} \int_a^b f(x) \, dx$， 由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (a, \xi)$（或 $(\xi, b)$），满足 $f'(\eta) = \frac{f(\xi)}{\xi - a}$。 \[ \boxed{ \begin{array}{ccc} \text{(1) } f(x) > 0 \text{ 在 } (a, b), \\ \text{(2) } \frac{b^2 - a^2}{\int_a^b f(x) \, dx} = \frac{2\xi}{f(\xi)}, \\ \text{(3) } f'(\eta)(b^2 - a^2) = \frac{2\xi}{\xi - a} \int_a^b f(x) \, dx. \end{array} } \]