题目

设 X sim N(2, sigma^2)，且 P2 < X < 4 = 0.3，则 PX < 0 = ____。

设 $X \sim N(2, \sigma^2)$，且 $P\{2 < X < 4\} = 0.3$，则 $P\{X < 0\} = \_\_\_\_$。

题目解答

答案

我们已知：

  • 随机变量 $ X \sim N(2, \sigma^2) $
  • $ P\{2 < X < 4\} = 0.3 $
  • 要求：$ P\{X < 0\} = ? $

第一步：标准化变量

设标准正态变量为 $ Z \sim N(0, 1) $。

对任意正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，我们可以通过标准化公式将其转化为标准正态变量：

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

第二步：利用已知条件求 $ \sigma $

已知：
$P\{2 < X < 4\} = 0.3$

由于 $ X \sim N(2, \sigma^2) $，我们可以将这个区间标准化：

$P\{2 < X < 4\} = P\left\{ \frac{2 - 2}{\sigma} < Z < \frac{4 - 2}{\sigma} \right\} = P\left\{ 0 < Z < \frac{2}{\sigma} \right\}$

这个概率等于 0.3：

$P\left\{ 0 < Z < \frac{2}{\sigma} \right\} = 0.3$

我们知道标准正态分布的累积分布函数（CDF）为 $ \Phi(z) $，那么：

$P\left\{ 0 < Z < \frac{2}{\sigma} \right\} = \Phi\left( \frac{2}{\sigma} \right) - \Phi(0) = 0.3$

由于 $ \Phi(0) = 0.5 $，代入得：

$\Phi\left( \frac{2}{\sigma} \right) - 0.5 = 0.3 \Rightarrow \Phi\left( \frac{2}{\sigma} \right) = 0.8$

查标准正态分布表，或者使用反函数（inverse CDF）：

$\Phi^{-1}(0.8) \approx 0.8416$

所以：

$\frac{2}{\sigma} = 0.8416 \Rightarrow \sigma = \frac{2}{0.8416} \approx 2.376$

第三步：求 $ P\{X < 0\} $

我们再次标准化：

$P\{X < 0\} = P\left\{ Z < \frac{0 - 2}{\sigma} \right\} = P\left\{ Z < -\frac{2}{\sigma} \right\}$

因为 $ \frac{2}{\sigma} \approx 0.8416 $，所以：

$P\left\{ Z < -0.8416 \right\} = \Phi(-0.8416)$

查标准正态分布表或使用对称性：

$\Phi(-0.8416) = 1 - \Phi(0.8416) = 1 - 0.8 = 0.2$

✅ 最终答案：

$\boxed{0.2}$

解析

本题考查正态分布的性质以及标准化变换的应用。解题的关键思路是先将给定的正态分布变量进行标准化，利用已知概率求出标准差 $\sigma$，再通过标准化变换求出目标概率。

  1. 标准化变量：
    对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，可通过公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 将其转化为标准正态分布 $Z \sim N(0, 1)$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
  2. 利用已知条件求 $\sigma$：
    已知 $X \sim N(2, \sigma^2)$ 且 $P\{2 < X < 4\} = 0.3$，将区间 $2 < X < 4$ 进行标准化：
    $P\{2 < X < 4\} = P\left\{\frac{2 - 2}{\sigma} < \frac{X - 2}{\sigma} < \frac{4 - 2}{\sigma}\right\} = P\left\{0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right\}$
    设标准正态分布的累积分布函数为 $\Phi(z)$，则 $P\left\{0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right\} = \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - \Phi(0)$。
    因为 $\Phi(0) = 0.5$，且 $P\left\{0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right\} = 0.3$，所以可得：
    $\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - 0.5 = 0.3$
    移项可得：
    $\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) = 0.3 + 0.5 = 0.8$
    通过查标准正态分布表或使用反函数可得 $\Phi^{-1}(0.8) \approx 0.8416$，即 $\frac{2}{\sigma} = 0.8416$，解得：
    $\sigma = \frac{2}{0.8416} \approx 2.376$
  3. 求 $P\{X < 0\}$：
    对 $P\{X < 0\}$ 进行标准化：
    $P\{X < 0\} = P\left\{\frac{X - 2}{\sigma} < \frac{0 - 2}{\sigma}\right\} = P\left\{Z < -\frac{2}{\sigma}\right\}$
    因为 $\frac{2}{\sigma} \approx 0.8416$，所以 $P\left\{Z < -\frac{2}{\sigma}\right\} = P\left\{Z < -0.8416\right\}$。
    根据标准正态分布的对称性，$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$，则：
    $P\left\{Z < -0.8416\right\} = \Phi(-0.8416) = 1 - \Phi(0.8416) = 1 - 0.8 = 0.2$