题目
设_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)是取自总体_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)的样本,_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)0,theta" data-width="177" data-height="25" data-size="2282" data-format="png" style="max-width:100%">未知,则_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)0.5theta)" data-width="129" data-height="27" data-size="1934" data-format="png" style="max-width:100%">的值为( )A._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)B._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)C._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)D._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)
设
是取自总体
的样本,
0,\theta" data-width="177" data-height="25" data-size="2282" data-format="png" style="max-width:100%">未知,则
0.5\theta)" data-width="129" data-height="27" data-size="1934" data-format="png" style="max-width:100%">的值为( )
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
已知总体
，则都服从
.
则
0.5\theta)=\frac{\theta-0.5\theta}{\theta}=\frac{0.5\theta}{\theta}" data-width="290" data-height="48" data-size="4037" data-format="png" style="max-width:100%">
.
那么
0.5\theta)" data-width="298" data-height="25" data-size="3459" data-format="png" style="max-width:100%">
.
对于四个样本，都小于等于
的概率为
，所以至少有一个大于的概率为
.
故答案为B选项.
解析
步骤 1：理解问题
题目要求我们计算$P({X}_{(1)}\gt 0.5\theta )$0.5\theta)" data-width="129" data-height="27" data-size="1934" data-format="png" style="max-width:100%">，其中${X}_{(1)}$表示样本中最小的观测值，$X\sim U(0,\theta )$0,\theta" data-width="177" data-height="25" data-size="2282" data-format="png" style="max-width:100%">表示X服从区间$(0,\theta )$0,\theta)" data-width="109" data-height="25" data-size="1554" data-format="png" style="max-width:100%">上的均匀分布。
步骤 2：计算单个样本的概率
对于单个样本$X_i$，$P(X_i\gt 0.5\theta )=\dfrac {\theta -0.5\theta }{\theta }=\dfrac {0.5\theta }{\theta }$0.5\theta)" data-width="290" data-height="48" data-size="4037" data-format="png" style="max-width:100%">$=0.5=\dfrac {1}{2}$。因此，$P(X_i\leqslant 0.5\theta )=1-P(X_i\gt 0.5\theta )$0.5\theta)" data-width="298" data-height="25" data-size="3459" data-format="png" style="max-width:100%">$=1-\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：计算所有样本的概率
对于四个样本X1,X2,2,X3,X4，都小于等于0.56的概率为${(\dfrac {1}{2})}^{4}=\dfrac {1}{16}$，所以至少有一个大于0.56的概率为$1-\dfrac {1}{16}=\dfrac {15}{16}$。
题目要求我们计算$P({X}_{(1)}\gt 0.5\theta )$0.5\theta)" data-width="129" data-height="27" data-size="1934" data-format="png" style="max-width:100%">，其中${X}_{(1)}$表示样本中最小的观测值，$X\sim U(0,\theta )$0,\theta" data-width="177" data-height="25" data-size="2282" data-format="png" style="max-width:100%">表示X服从区间$(0,\theta )$0,\theta)" data-width="109" data-height="25" data-size="1554" data-format="png" style="max-width:100%">上的均匀分布。
步骤 2：计算单个样本的概率
对于单个样本$X_i$，$P(X_i\gt 0.5\theta )=\dfrac {\theta -0.5\theta }{\theta }=\dfrac {0.5\theta }{\theta }$0.5\theta)" data-width="290" data-height="48" data-size="4037" data-format="png" style="max-width:100%">$=0.5=\dfrac {1}{2}$。因此，$P(X_i\leqslant 0.5\theta )=1-P(X_i\gt 0.5\theta )$0.5\theta)" data-width="298" data-height="25" data-size="3459" data-format="png" style="max-width:100%">$=1-\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：计算所有样本的概率
对于四个样本X1,X2,2,X3,X4，都小于等于0.56的概率为${(\dfrac {1}{2})}^{4}=\dfrac {1}{16}$，所以至少有一个大于0.56的概率为$1-\dfrac {1}{16}=\dfrac {15}{16}$。