设C为正向圆周|z|=2，则oint(cos z)/((1-z)^2)dz=( ).A. -sin 1B. sin 1C. 2pi isin 1D. -2pi isin 1

考查要点：本题主要考查复变函数中的柯西积分公式或留数定理的应用，重点在于处理被积函数在积分路径内的奇点。

解题核心思路：

1. 确定奇点位置：分母为$(1-z)^2$，对应奇点$z=1$，该点位于积分路径$|z|=2$内部。
2. 选择方法：利用柯西积分公式（适用于分母为$(z-a)^{n+1}$的形式）或留数定理（计算极点的留数）。
3. 计算导数或留数：通过公式直接求解积分值。

破题关键点：

• 正确识别奇点类型（二阶极点）及位置。
• 灵活应用公式，注意分母形式的转换（如$(1-z)^2 = (z-1)^2$）。

步骤1：分析被积函数的奇点

被积函数为$\frac{\cos z}{(1-z)^2}$，分母$(1-z)^2$在$z=1$处有二阶极点。由于积分路径$|z|=2$包含$z=1$（因$|1|=1 < 2$），需计算该点的留数。

步骤2：应用柯西积分公式

柯西积分公式推广形式为：
$\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \mathrm{d}z = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(a)$
本题中，$a=1$，$f(z)=\cos z$，$n=1$（因分母为$(z-1)^2$，对应$n+1=2$）。
代入公式得：
$\oint_{|z|=2} \frac{\cos z}{(z-1)^2} \mathrm{d}z = \frac{2\pi i}{1!} f'(1)$
其中$f'(z) = -\sin z$，故$f'(1) = -\sin 1$。
最终积分值为：
$2\pi i \cdot (-\sin 1) = -2\pi i \sin 1$

步骤3：验证留数定理（可选）

若用留数定理，二阶极点的留数公式为：
$\text{Res}(f,1) = \lim_{z \to 1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \left[ (z-1)^2 \cdot \frac{\cos z}{(z-1)^2} \right] = \lim_{z \to 1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (\cos z) = -\sin 1$
积分值为$2\pi i \cdot (-\sin 1)$，与柯西公式结果一致。