为检验不同品牌电池的质量,质检部门抽检了3家生产商生产的五号电池,在每个厂家随机抽取5个电池,测得使用寿命(小时)数据如表7—12所示:表7—12试验号电池生产商生产商A生产商B生产商C15032452502842343303844034485392640用Excel输出的方差分析表如表所示:方差分析:单因素方差分析方差分析(1) 将方差分析表中划线部分所缺的数值补齐。(2) 分析三个生产商生产的电池的平均寿命之间有无显著差异(=0.05)?(3) 如果有差异,到底是哪些生产商之间有差异?

题目考察知识和解题思路

本题主要考察单因素方差分析的应用，包括方差分析表的填充、显著性检验及多重比较。

（1）方差分析表填充思路

单因素方差分析中，关键公式如下：

• 总平方和（SST） = 组间平方和（SSA）+ 组内平方和（SSE）
• 总自由度（df_T） = 组间自由度（df_A）+ 组内自由度（df_E）
• 组间均方（MSA） = SS_A / df_A
• 组内均方（MSE） = SS_E / df_E
• F统计量 = MSA / MSE

已知条件：

• • 3个生产商（k=3），每个厂家抽5个电池（n=5），总样本数N=3×5=15
• 组间自由度df_A = k-1=2，组内自由度df_E=N-k=12，总自由度df_T=14
• 题目给出SS_A=615.6，SS_E=216.4，SST=832

计算缺失值：

• MSA=SS_A/df_A=615.6/2=307.8
• MSE=SS_E/df_E=216.4/12≈18.0333
  （保留四位小数）
• F=MSA/MSE=307.8/18.0333≈17.0684
• F临界值（α=0.05，df1=2，df2=12）查F分布表得3.88529

（2）显著性检验思路

步骤1：提出假设

• 原假设H₀：μ₁=μ₂=μ₃（三生产商平均寿命相同）
• 备择假设H₁：μ₁,μ₂,μ₃不全相等（不全相同）

步骤2：决策规则

若F>F临界值（α=0.05），则拒绝H₀。

结果：

F=17.0684>3.888529，拒绝H₀，表明三生产商平均寿命不全相同。

（3）多重比较（LSD法）思路）

步骤1：计算样本均值

• 生产商A：(50+50+43+40+39)/5=44.4
• 生产商B：(32+28+30+34+26)/5=30
• 生产商C：(45+42+38+48+40)/5=42.6

步骤2：计算LSD

LSD公式：
$LSD = t_{\alpha/2}(n-k)\sqrt{MSE\left(\frac{1n+\frac1n\right)}$

• t临界值：α=0.05，df=12，双侧t值=2.1788
• MSE=18.0333，n=5
  $LSD=2.1788\sqrt{18.0333×(\frac15+\frac15)}≈5.8517$

步骤3：比较均值差

• |A-B|=14.4>5.8517→拒绝H₀（A与B差异显著）
• |A-C|=1.8<5.8517→接受H₀（AC无显著差异C）
• |B-C|=12.6>5.8517→拒绝H₀（B与C差异显著）