题目
随机变量X服从(1,2)上的均匀分布，(1,2)，求Y的概率密度函数。
随机变量X服从
上的均匀分布，
，求Y的概率密度函数。
题目解答
答案
随机变量X服从区间上的均匀分布，则X的概率密度函数为
，则的分布函数为
，则Y的概率密度函数为
，即
.
解析
步骤 1：确定X的概率密度函数
随机变量X服从区间(1,2)上的均匀分布，因此X的概率密度函数为$f(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2-1}=1,1\lt x\lt 2\\ 0,else\end{matrix} \right.$。
步骤 2：求Y的分布函数
$Y={e}^{2X}$的分布函数为$P(Y\leqslant y)=P({e}^{2X}\leqslant y)=P(X\leqslant \dfrac {\ln y}{2})$。由于$X$的取值范围是$(1,2)$，所以$Y$的取值范围是$({e}^{2},{e}^{4})$。因此，$P(X\leqslant \dfrac {\ln y}{2})={\int }_{-\infty }^{\dfrac {\ln y}{2}}f(x)dx={\int }_{1}^{\dfrac {\ln y}{2}}1dx$，其中$y\in ({e}^{2},{e}^{4})$。
步骤 3：计算积分
${\int }_{1}^{\dfrac {\ln y}{2}}1dx=\dfrac {\ln y}{2}-1$，因此$P(Y\leqslant y)=\dfrac {\ln y}{2}-1$，其中$y\in ({e}^{2},{e}^{4})$。
步骤 4：求Y的概率密度函数
$Y$的概率密度函数为$f(y)={F}_{Y}'(y)=\dfrac {d}{dy}(\dfrac {\ln y}{2}-1)=\dfrac {1}{2y}$，其中$y\in ({e}^{2},{e}^{4})$。
随机变量X服从区间(1,2)上的均匀分布，因此X的概率密度函数为$f(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2-1}=1,1\lt x\lt 2\\ 0,else\end{matrix} \right.$。
步骤 2：求Y的分布函数
$Y={e}^{2X}$的分布函数为$P(Y\leqslant y)=P({e}^{2X}\leqslant y)=P(X\leqslant \dfrac {\ln y}{2})$。由于$X$的取值范围是$(1,2)$，所以$Y$的取值范围是$({e}^{2},{e}^{4})$。因此，$P(X\leqslant \dfrac {\ln y}{2})={\int }_{-\infty }^{\dfrac {\ln y}{2}}f(x)dx={\int }_{1}^{\dfrac {\ln y}{2}}1dx$，其中$y\in ({e}^{2},{e}^{4})$。
步骤 3：计算积分
${\int }_{1}^{\dfrac {\ln y}{2}}1dx=\dfrac {\ln y}{2}-1$，因此$P(Y\leqslant y)=\dfrac {\ln y}{2}-1$，其中$y\in ({e}^{2},{e}^{4})$。
步骤 4：求Y的概率密度函数
$Y$的概率密度函数为$f(y)={F}_{Y}'(y)=\dfrac {d}{dy}(\dfrac {\ln y}{2}-1)=\dfrac {1}{2y}$，其中$y\in ({e}^{2},{e}^{4})$。