题目
4.设某种电灯泡的寿命X服从指数分布,求来自这一总体的简单随机样-|||-本X1,X2,···,x,n的联合概率密度.
题目解答
答案
解析
本题考查指数分布的概率密度以及简单随机样本的联合概率密度的计算。解题思路如下：
- 首先明确指数分布的概率密度函数形式。对于随机变量 $X$ 服从指数分布，其概率密度函数为 $f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}$，其中 $\lambda>0$ 是参数。
- 然后根据简单随机样本的性质，即样本中的各个随机变量相互独立，来计算联合概率密度。对于简单随机样本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，其联合概率密度为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)$。
- 最后分情况进行计算：
- 当 $x_i > 0(i = 1,2,\cdots,n)$ 时，$f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=\lambda e^{-\lambda x_1}\cdot\lambda e^{-\-\lambda x_2}\cdots\lambda e^{-\lambda x_n}$。根据指数运算法则 $a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，可得 $\lambda e^{-\lambda x_1}\cdot\lambda e^{-\lambda x_2}\cdots\lambda e^{-\lambda x_n}=\lambda^n e^{-\lambda(x_1 + x_2+\cdots+x_n)}$。
- 当存在 $x_i\leq0(i = 1,2,\cdots,n)$ 时，因为 $f(x_i)=0$，所以 $f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=0$。