4【单选题】设随机变量X服从正态分布N(θ,1)，随机变量Y服从正态分布N(θ,4)，则P(|X-θ|<1)____P(|Y-θ|<2)A 大于B 等于C 小于D 随θ不同而不确定

为了确定 $P(|X-\theta| < 1)$ 和 $P(|Y-\theta| < 2)$ 之间的关系，我们首先需要理解正态分布的性质。正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的概率密度函数为：

$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

其中，$\mu$ 是均值，$\sigma^2$ 是方差，$\sigma$ 是标准差。

步骤1：计算 $P(|X-\theta| < 1)$

随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\theta, 1)$，即 $\mu = \theta$ 和 $\sigma = 1$。因此， $|X-\theta| < 1$ 可以重写为：

$-1 < X - \theta < 1$

这等价于：

$\frac{-1}{1} < \frac{X - \theta}{1} < \frac{1}{1}$

即：

$-1 < Z < 1$

其中 $Z = \frac{X - \theta}{1}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。因此， $P(|X-\theta| < 1)$ 为：

$P(|X-\theta| < 1) = P(-1 < Z < 1)$

步骤2：计算 $P(|Y-\theta| < 2)$

随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N(\theta, 4)$，即 $\mu = \theta$ 和 $\sigma = 2$。因此， $|Y-\theta| < 2$ 可以重写为：

$-2 < Y - \theta < 2$

这等价于：

$\frac{-2}{2} < \frac{Y - \theta}{2} < \frac{2}{2}$

即：

$-1 < Z < 1$

其中 $Z = \frac{Y - \theta}{2}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。因此， $P(|Y-\theta| < 2)$ 为：

$P(|Y-\theta| < 2) = P(-1 < Z < 1)$

步骤3：比较 $P(|X-\theta| < 1)$ 和 $P(|Y-\theta| < 2)$

从上述计算中，我们可以看到：

$P(|X-\theta| < 1) = P(-1 < Z < 1)$
$P(|Y-\theta| < 2) = P(-1 < Z < 1)$

由于两个概率都等于 $P(-1 < Z < 1)$，因此：

$P(|X-\theta| < 1) = P(|Y-\theta| < 2)$

结论

正确答案是：

$\boxed{B}$