已知离散均匀总体X的分布律为(X=i)=dfrac (1)(3) ,i=2,4, 6,从总体X中抽取n=54的简单随机样本(X=i)=dfrac (1)(3) ,i=2,4, 6,求样本和的值介于区间(204,240)内的概率.(利用中心极限定理)

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，涉及离散均匀分布总体的样本和的概率计算。

解题核心思路：

1. 确定总体参数：计算总体均值$\mu$和方差$\sigma^2$。
2. 应用中心极限定理：样本和$S$近似服从正态分布$N(n\mu, n\sigma^2)$。
3. 标准化处理：将区间$(204, 240)$转化为标准正态分布下的$Z$分数范围。
4. 查表求概率：利用标准正态分布表计算概率。

破题关键点：

• 正确计算总体均值和方差：离散均匀分布的均值和方差需准确计算。
• 区分样本和与样本均值的参数：样本和的均值为$n\mu$，方差为$n\sigma^2$，标准差为$\sqrt{n}\sigma$。

1. 计算总体均值和方差

总体$X$的取值为$2,4,6$，概率均为$\dfrac{1}{3}$：

• 均值：
  $\mu = \dfrac{2 + 4 + 6}{3} = 4$
• 方差：
  $\sigma^2 = \dfrac{(2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2.6667$

2. 确定样本和的分布参数

样本量$n=54$，根据中心极限定理：

• 样本和的均值：
  $E(S) = n\mu = 54 \times 4 = 216$
• 样本和的方差：
  $\text{Var}(S) = n\sigma^2 = 54 \times \dfrac{8}{3} = 144$
• 样本和的标准差：
  $\sigma_S = \sqrt{144} = 12$

3. 标准化区间并计算概率

将区间$(204, 240)$标准化为$Z$分数：

• 下限：
  $Z_1 = \dfrac{204 - 216}{12} = -1$
• 上限：
  $Z_2 = \dfrac{240 - 216}{12} = 2$

查标准正态分布表：

• $P(Z < 2) \approx 0.9772$
• $P(Z < -1) \approx 0.1587$

所求概率：
$P(204 < S < 240) = 0.9772 - 0.1587 = 0.8185$