题目
设 X_1, X_2, X_3, X_4, X_5 为来自正态总体 X sim N(0,4) 的简单随机样本, Y = a(X_1 - 2X_2)^2 + b(3X_3 - 4X_4)^2 + cX_5^2 (abc neq 0), 且 Y sim chi^2(n), 则 a, b, c, n 的值分别为 ().A. a = (1)/(10), b = (1)/(50), c = (1)/(4), n = 3B. a = (1)/(20), b = (1)/(100), c = (1)/(4), n = 3C. a = (1)/(10), b = (1)/(50), c = (1)/(2), n = 4D. a = (1)/(20), b = (1)/(100), c = (1)/(2), n = 4
设 $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ 为来自正态总体 $X \sim N(0,4)$ 的简单随机样本, $Y = a(X_1 - 2X_2)^2 + b(3X_3 - 4X_4)^2 + cX_5^2 (abc \neq 0)$, 且 $Y \sim \chi^2(n)$, 则 $a, b, c, n$ 的值分别为 ().
A. $a = \frac{1}{10}$, $b = \frac{1}{50}$, $c = \frac{1}{4}$, $n = 3$
B. $a = \frac{1}{20}$, $b = \frac{1}{100}$, $c = \frac{1}{4}$, $n = 3$
C. $a = \frac{1}{10}$, $b = \frac{1}{50}$, $c = \frac{1}{2}$, $n = 4$
D. $a = \frac{1}{20}$, $b = \frac{1}{100}$, $c = \frac{1}{2}$, $n = 4$
题目解答
答案
B. $a = \frac{1}{20}$, $b = \frac{1}{100}$, $c = \frac{1}{4}$, $n = 3$
解析
步骤 1：转换为标准正态变量
将 $X_i$ 转换为标准正态变量 $Z_i = \frac{X_i}{2}$，则 $Z_i \sim N(0,1)$。
步骤 2：计算 $(X_1 - 2X_2)^2$ 的系数
\[
(X_1 - 2X_2)^2 = 4(Z_1 - 2Z_2)^2, \quad \text{且} \quad Z_1 - 2Z_2 \sim N(0,5) \Rightarrow \frac{(Z_1 - 2Z_2)^2}{5} \sim \chi^2(1)
\]
故 $a = \frac{1}{20}$。
步骤 3：计算 $(3X_3 - 4X_4)^2$ 的系数
\[
(3X_3 - 4X_4)^2 = 4(3Z_3 - 4Z_4)^2, \quad \text{且} \quad 3Z_3 - 4Z_4 \sim N(0,25) \Rightarrow \frac{(3Z_3 - 4Z_4)^2}{25} \sim \chi^2(1)
\]
故 $b = \frac{1}{100}$。
步骤 4：计算 $X_5^2$ 的系数
\[
X_5^2 = 4Z_5^2 \Rightarrow \frac{X_5^2}{4} \sim \chi^2(1)
\]
故 $c = \frac{1}{4}$。
步骤 5：确定 $Y$ 的自由度
因此，$Y = U_1^2 + U_2^2 + Z_5^2 \sim \chi^2(3)$，其中 $U_1, U_2, Z_5$ 为标准正态变量。
将 $X_i$ 转换为标准正态变量 $Z_i = \frac{X_i}{2}$，则 $Z_i \sim N(0,1)$。
步骤 2：计算 $(X_1 - 2X_2)^2$ 的系数
\[
(X_1 - 2X_2)^2 = 4(Z_1 - 2Z_2)^2, \quad \text{且} \quad Z_1 - 2Z_2 \sim N(0,5) \Rightarrow \frac{(Z_1 - 2Z_2)^2}{5} \sim \chi^2(1)
\]
故 $a = \frac{1}{20}$。
步骤 3：计算 $(3X_3 - 4X_4)^2$ 的系数
\[
(3X_3 - 4X_4)^2 = 4(3Z_3 - 4Z_4)^2, \quad \text{且} \quad 3Z_3 - 4Z_4 \sim N(0,25) \Rightarrow \frac{(3Z_3 - 4Z_4)^2}{25} \sim \chi^2(1)
\]
故 $b = \frac{1}{100}$。
步骤 4：计算 $X_5^2$ 的系数
\[
X_5^2 = 4Z_5^2 \Rightarrow \frac{X_5^2}{4} \sim \chi^2(1)
\]
故 $c = \frac{1}{4}$。
步骤 5：确定 $Y$ 的自由度
因此，$Y = U_1^2 + U_2^2 + Z_5^2 \sim \chi^2(3)$，其中 $U_1, U_2, Z_5$ 为标准正态变量。