题目
五、应用题(10分)-|||-30.某次考试成绩X服从正态分布N(75,15^2)(单位:分).(1)求此次考试的及格率-|||- xgeqslant 60 和优秀率 Xgeqslant 90 ;(2)考试成绩至少高于多少分能排名前50%?-|||-(附: Phi (1)=0.8413 )
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算及格率
根据正态分布的性质，及格率 $P\{ x\geqslant 60\}$ 可以通过计算标准正态分布的累积分布函数（CDF）来求解。首先，将60分转换为标准正态分布的Z值，即 $Z = \frac{60 - 75}{15} = -1$。然后，利用标准正态分布的性质，$P\{ x\geqslant 60\} = 1 - \Phi(-1)$。由于 $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$，所以 $P\{ x\geqslant 60\} = 1 - (1 - \Phi(1)) = \Phi(1)$。根据题目给出的 $\Phi(1) = 0.8413$，可以得到及格率为 $0.8413$。
步骤 2：计算优秀率
同样地，优秀率 $P\{ X\geqslant 90\}$ 可以通过计算标准正态分布的累积分布函数（CDF）来求解。首先，将90分转换为标准正态分布的Z值，即 $Z = \frac{90 - 75}{15} = 1$。然后，利用标准正态分布的性质，$P\{ X\geqslant 90\} = 1 - \Phi(1)$。根据题目给出的 $\Phi(1) = 0.8413$，可以得到优秀率为 $1 - 0.8413 = 0.1587$。
步骤 3：计算排名前50%的分数
要使考试成绩至少高于多少分能排名前50%，即 $P\{ x\geqslant x\} = 50\%$。根据标准正态分布的性质，$P\{ x\geqslant x\} = 1 - \Phi(\frac{x - 75}{15}) = 0.5$。解这个方程，可以得到 $\Phi(\frac{x - 75}{15}) = 0.5$。由于 $\Phi(0) = 0.5$，所以 $\frac{x - 75}{15} = 0$，解得 $x = 75$。因此，考试成绩至少高于75分能排在前50%。
根据正态分布的性质，及格率 $P\{ x\geqslant 60\}$ 可以通过计算标准正态分布的累积分布函数（CDF）来求解。首先，将60分转换为标准正态分布的Z值，即 $Z = \frac{60 - 75}{15} = -1$。然后，利用标准正态分布的性质，$P\{ x\geqslant 60\} = 1 - \Phi(-1)$。由于 $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$，所以 $P\{ x\geqslant 60\} = 1 - (1 - \Phi(1)) = \Phi(1)$。根据题目给出的 $\Phi(1) = 0.8413$，可以得到及格率为 $0.8413$。
步骤 2：计算优秀率
同样地，优秀率 $P\{ X\geqslant 90\}$ 可以通过计算标准正态分布的累积分布函数（CDF）来求解。首先，将90分转换为标准正态分布的Z值，即 $Z = \frac{90 - 75}{15} = 1$。然后，利用标准正态分布的性质，$P\{ X\geqslant 90\} = 1 - \Phi(1)$。根据题目给出的 $\Phi(1) = 0.8413$，可以得到优秀率为 $1 - 0.8413 = 0.1587$。
步骤 3：计算排名前50%的分数
要使考试成绩至少高于多少分能排名前50%，即 $P\{ x\geqslant x\} = 50\%$。根据标准正态分布的性质，$P\{ x\geqslant x\} = 1 - \Phi(\frac{x - 75}{15}) = 0.5$。解这个方程，可以得到 $\Phi(\frac{x - 75}{15}) = 0.5$。由于 $\Phi(0) = 0.5$，所以 $\frac{x - 75}{15} = 0$，解得 $x = 75$。因此，考试成绩至少高于75分能排在前50%。